Explique a razão pela qual as seguintes funções são descontínuas nos pontos indicados:
Passo 1
O enunciado nos dá uma função definida por partes: f(x)=e^x se x<0 e f(x)=x^2 se x≥0, e pede para mostrar que ela é descontínua em p=0. O conteúdo envolvido é continuidade de função definida por partes, e vamos precisar usar a definição de limite lateral e comparar com o valor f(0).
Passo 2
Para que f seja contínua em x=0, precisamos ter simultaneamente
. Vamos calcular cada um desses itens.
Passo 3
Lado esquerdo:
. Aqui usamos que a função exponencial é contínua e seu limite em 0 é e^0.
Lado direito: . E o valor da função em 0 é
.
Lado direito:
Passo 4
Como
é diferente de
, o limite geral
não existe. Portanto f não é contínua em 0, caracterizando uma descontinuidade de salto.
Resposta
A função é descontínua em 0 porque os limites laterais não coincidem:
e
, logo o limite em 0 não existe.