O que significa a expressão valor esperado?

Passo 1

Beleza, então o enunciado pergunta “O que significa a expressão valor esperado?”. Isso cai na matéria de Probabilidade/Estatística e, para entender a resposta, a gente vai precisar saber o que é uma variável aleatória, como ela tem uma distribuição de probabilidade (seja discreta ou contínua) e como se faz uma média ponderada usando essas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma variável aleatória X: é um jeito de modelar resultados incertos (por exemplo, jogar um dado). Cada resultado possível tem uma probabilidade associada . No caso contínuo, em vez de probabilidades pontuais, a gente tem uma densidade .

Passo 3

O valor esperado (ou esperança matemática) é, basicamente, a média “ponderada” dos resultados, onde cada resultado é pesado pela sua probabilidade.
  • Para variável discreta:
    E[X] = sumi xi ,P(X = xi)
    Aqui você pega cada valor E[X] = integral-infty^+infty x,f(x),dx, , multiplica pela probabilidade de ocorrer, e soma tudo.
  • Para variável contínua:
    que é a integração do “produto” entre o valor e sua densidade .
Em ambos os casos, faz sentido porque você está calculando a média dos valores possíveis, mas respeitando o quão provável cada um é.

Passo 4

Intuitivamente, imagine repetir um experimento muitas e muitas vezes (por exemplo, lançar um dado). O valor esperado é o número em torno do qual os resultados vão se estabilizar, na média. Ou seja, se o dado é justo, a gente sabe que cada face 1,2,…,6 aparece com probabilidade E[X] = 1cdot16 + 2cdot16 + cdots + 6cdot16 = 3,5 , então
Isso significa que, em média, cada lançamento “vale” 3,5.

Resposta

O valor esperado de uma variável aleatória é a média ponderada dos resultados possíveis, considerando as probabilidades de cada um. Matematicamente:
- Discreta:
- Contínua: .
Ele indica o ponto em que, em média e em longo prazo, os resultados se concentram.

Exercícios relacionados