O que significa a expressão valor esperado?
Passo 1
Beleza, então o enunciado pergunta “O que significa a expressão valor esperado?”. Isso cai na matéria de Probabilidade/Estatística e, para entender a resposta, a gente vai precisar saber o que é uma variável aleatória, como ela tem uma distribuição de probabilidade (seja discreta ou contínua) e como se faz uma média ponderada usando essas probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma variável aleatória X: é um jeito de modelar resultados incertos (por exemplo, jogar um dado). Cada resultado possível
tem uma probabilidade associada
. No caso contínuo, em vez de probabilidades pontuais, a gente tem uma densidade
.
Passo 3
O valor esperado (ou esperança matemática) é, basicamente, a média “ponderada” dos resultados, onde cada resultado é pesado pela sua probabilidade.
-
Para variável discreta:Aqui você pega cada valor
, multiplica pela probabilidade de ocorrer, e soma tudo. -
Para variável contínua:que é a integração do “produto” entre o valor
e sua densidade .
Em ambos os casos, faz sentido porque você está calculando a média dos valores possíveis, mas respeitando o quão provável cada um é.
Passo 4
Intuitivamente, imagine repetir um experimento muitas e muitas vezes (por exemplo, lançar um dado). O valor esperado é o número em torno do qual os resultados vão se estabilizar, na média. Ou seja, se o dado é justo, a gente sabe que cada face 1,2,…,6 aparece com probabilidade
, então
Isso significa que, em média, cada lançamento “vale” 3,5.
Resposta
O valor esperado de uma variável aleatória é a média ponderada dos resultados possíveis, considerando as probabilidades de cada um. Matematicamente:
- Discreta:
- Contínua: .
Ele indica o ponto em que, em média e em longo prazo, os resultados se concentram.
- Discreta:
- Contínua:
Ele indica o ponto em que, em média e em longo prazo, os resultados se concentram.