O que é o valor esperado de um observável? Por que ele é importante para prever resultados experimentais?
Passo 1
Beleza, a pergunta é assim: “O que é o valor esperado de um observável? Por que ele é importante pra prever resultados experimentais?” Isso cai dentro de Mecânica Quântica e a gente vai precisar entender três coisinhas básicas:
- O que é um observável (quantidade física e operador).
- Como rola a medição (autovalores e probabilidades via Regra de Born).
- A definição de valor esperado (média ponderada dos resultados).
Passo 2
Primeiro, lembra que em MQ a gente não fala “posição” ou “energia” como números diretos, mas sim como operadores (por exemplo,
pra posição,
pra energia). Esses operadores atuam em estados quânticos
. Quando medimos, só obtemos os autovalores desses operadores (os possíveis resultados).
Passo 3
Agora, sobre probabilidade: se o sistema está no estado
e
é o operador do nosso observável, a probabilidade de medir o autovalor
é
onde
é o autovetor de
associado a
. Isso vem da chamada Regra de Born.
Passo 4
O valor esperado é, basicamente, a média dos resultados possíveis, levando em conta essas probabilidades. Em notação de soma sobre todos os autovalores:
Essa soma dá uma ideia de “onde” o valor tende a ficar se você repetir a medição várias vezes.
Passo 5
Em uma linguagem mais compacta, usando bra-ket, a gente escreve:
Aqui o
é um “produto interno” que já incorpora a soma (ou integral) das componentes do estado.
Passo 6
Por que isso importa? Porque em laboratório você não mede um único sistema só uma vez e já tem certeza do valor exato (é probabilístico!). Você faz várias medições em sistemas idênticos e olha a média dos resultados. Esse “valor esperado” é justamente o que vai bater com o médio do que você mede na prática.
Resposta
O valor esperado de um observável
num estado
é a média ponderada dos autovalores
pelas suas probabilidades
, dada por
Ele é importante porque, numa teoria em que cada medição pode dar um resultado diferente, o valor esperado prediz o resultado médio de muitas medições, permitindo comparação direta com experimentos.