O que é o valor esperado de um observável? Por que ele é importante para prever resultados experimentais?

Passo 1

Beleza, a pergunta é assim: “O que é o valor esperado de um observável? Por que ele é importante pra prever resultados experimentais?” Isso cai dentro de Mecânica Quântica e a gente vai precisar entender três coisinhas básicas:
  1. O que é um observável (quantidade física e operador).
  2. Como rola a medição (autovalores e probabilidades via Regra de Born).
  3. A definição de valor esperado (média ponderada dos resultados).

Passo 2

Primeiro, lembra que em MQ a gente não fala “posição” ou “energia” como números diretos, mas sim como operadores (por exemplo, pra posição, pra energia). Esses operadores atuam em estados quânticos . Quando medimos, só obtemos os autovalores desses operadores (os possíveis resultados).

Passo 3

Agora, sobre probabilidade: se o sistema está no estado P(an) = |lang<= an|psirang<=|^2, e é o operador do nosso observável, a probabilidade de medir o autovalor é
onde é o autovetor de associado a . Isso vem da chamada Regra de Born.

Passo 4

O valor esperado é, basicamente, a média dos resultados possíveis, levando em conta essas probabilidades. Em notação de soma sobre todos os autovalores:
lang<= Arang<= ;=;sumn an,P(an) ;=;sumn an,|lang<= an|psirang<=|^2
Essa soma dá uma ideia de “onde” o valor tende a ficar se você repetir a medição várias vezes.

Passo 5

Em uma linguagem mais compacta, usando bra-ket, a gente escreve:
lang<= Arang<= ;=;lang<= psi|hat A|psirang<=
Aqui o é um “produto interno” que já incorpora a soma (ou integral) das componentes do estado.

Passo 6

Por que isso importa? Porque em laboratório você não mede um único sistema só uma vez e já tem certeza do valor exato (é probabilístico!). Você faz várias medições em sistemas idênticos e olha a média dos resultados. Esse “valor esperado” é justamente o que vai bater com o médio do que você mede na prática.

Resposta

O valor esperado de um observável lang<= Arang<= = sumn an,|lang<= an|psirang<=|^2 = lang<= psi|hat A|psirang<= num estado é a média ponderada dos autovalores pelas suas probabilidades , dada por
Ele é importante porque, numa teoria em que cada medição pode dar um resultado diferente, o valor esperado prediz o resultado médio de muitas medições, permitindo comparação direta com experimentos.

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