{ }^{1}{ }^{\mathrm{a}} ) Determine as componentes de \mathrm{V}=(10,2) na base \mathrm{B}=\{(3,5),(-1,2)\} e em seguida represente graficamente a combinação linear entre eles. (Vale 2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor \mathbf{V}=(10,2) como combinação linear dos vetores da base \mathsf{B}=\{(3,5),\,(-1,2)\}.
O conteúdo é mudança de base em \mathbb{R}^2: precisamos achar escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,(3,5)\;+\;\beta\,(-1,2)\;=\;(10,2).

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
3\alpha - \beta = 10,
5\alpha + 2\beta = 2.
Da primeira equação segue \beta = 3\alpha - 10. Substituindo na segunda:
5\alpha + 2(3\alpha - 10) = 2
5\alpha + 6\alpha - 20 = 2
11\alpha = 22 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 2.
Então
\beta = 3\cdot2 - 10 = -4.

Passo 3

Logo
\mathbf{V} = 2\,(3,5)\;+\;(-4)\,(-1,2).
Calculando os vetores escalares:
2\,(3,5) = (6,10),
(-4)\,(-1,2) = (4,-8).
E de fato (6,10)+(4,-8)=(10,2).

Passo 4

Para representar graficamente a combinação linear:
  1. Desenha-se do ponto (0,0) a seta até (6,10), que é o vetor 2\,(3,5).
  2. A partir de (6,10) desenha-se a seta até (10,2), que é o vetor (-4)\,(-1,2).
    O percurso completo vai de (0,0) a (10,2), evidenciando que \mathbf{V} é a soma desses dois vetores escalares.

Resposta

As componentes de \mathbf{V}=(10,2) na base \mathsf{B} são \alpha=2 e \beta=-4. A representação gráfica segue o caminho (0,0)\to(6,10)\to(10,2).

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