Explique como resolver as integrais abaixo, dependendo dos valores de m e n:
$ \int \operatorname{tg}^{m} x \sec ^{n} x d x$

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral tan^mx sec^nx,dx, usando identidades trigonométricas e substituições usuais. Vamos precisar da identidade 1+tan^2x=sec^2x e das derivadas d(tan x)=sec^2x,dx e d(sec x)=sec xtan x,dx.

Passo 2

Quando n é par (digamos n=2k): separamos um fator sec^2x para substituir. Escrevemos
tan^mx,sec^2kx=tan^mx,sec^2k-2x;sec^2x
Como sec^2k-2x=(1+tan^2x)^k-1, fazemos u=tan x, de modo que du=sec^2x,dx. A integral vira
integral u^m(1+u^2)^k-1,du,
que é um polinômio em u e pode ser expandido e integrado termo a termo.

Passo 3

Quando m é ímpar (digamos m=2k+1): separamos um fator tan x junto com um sec x. Escrevemos
tan^2k+1x,sec^nx=tan^2kx,(sec xtan x),sec^n-1x
Como tan^2kx=(sec^2x-1)^k e d(sec x)=sec xtan x,dx, fazemos u=sec x, de modo que du=sec xtan x,dx. A integral fica
integral (u^2-1)^k,u^n-1,du,
outro polinômio em u que se resolve expandindo.

Passo 4

Quando m é par e n é ímpar ( m=2l, n=2k+1) e nenhum dos casos anteriores se aplica diretamente, podemos usar o fato de que
tan^2lx=(sec^2x-1)^l
e escrever
integraltan^2lx,sec^2k+1x,dx=integral(sec^2x-1)^l,sec^2k+1x,dx,
expandir (sec^2x-1)^l em potências de sec x e obter somas de integrais do tipo integralsec^m x,dx. Essas se resolvem por fórmulas de redução conhecidas para sec x.

Passo 5

Em todos os casos, a ideia-chave é usar identidades para reescrever potências de tan x e sec x de modo a deixar na integral um fator que seja a derivada exata de tan x ou de sec x, e assim fazer a substituição.

Resposta

Se n é par, use u=tan x. Se m é ímpar, use u=sec x. No caso remanescente ( m par e n ímpar), expanda (sec^2x-1)^m/2 e aplique fórmulas de redução para integralsec^p x,dx. Assim você resolve integraltan^m x,sec^n x,dx para quaisquer inteiros m,n.

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