Explique como resolver as integrais abaixo, dependendo dos valores de m e n:
$ \int \operatorname{tg}^{m} x \sec ^{n} x d x$
$ \int \operatorname{tg}^{m} x \sec ^{n} x d x$
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
, usando identidades trigonométricas e substituições usuais. Vamos precisar da identidade
e das derivadas
e
.
Passo 2
Quando
é par (digamos
): separamos um fator
para substituir. Escrevemos
Como
, fazemos
, de modo que
. A integral vira
que é um polinômio em
e pode ser expandido e integrado termo a termo.
Passo 3
Quando
é ímpar (digamos
): separamos um fator
junto com um
. Escrevemos
Como
e
, fazemos
, de modo que
. A integral fica
outro polinômio em
que se resolve expandindo.
Passo 4
Quando
é par e
é ímpar (
,
) e nenhum dos casos anteriores se aplica diretamente, podemos usar o fato de que
e escrever
expandir
em potências de
e obter somas de integrais do tipo
. Essas se resolvem por fórmulas de redução conhecidas para
.
Passo 5
Em todos os casos, a ideia-chave é usar identidades para reescrever potências de
e
de modo a deixar na integral um fator que seja a derivada exata de
ou de
, e assim fazer a substituição.
Resposta
Se
é par, use
. Se
é ímpar, use
. No caso remanescente (
par e
ímpar), expanda
e aplique fórmulas de redução para
. Assim você resolve
para quaisquer inteiros
.