Sobre o tema da substituição trigonométrica
  1. Descreva os três tipos de substituição trigonométrica, quando usar, qual a substituição e qual o valor do diferencial (dx).

Passo 1

O exercício pede para a gente listar e explicar os três tipos de substituição trigonométrica, dizendo quando usar cada uma, qual a regra de substituição e o correspondente diferencial dx. Isso faz parte do conteúdo de integrais com raízes quadráticas, onde usamos identidades trigonométricas para simplificar a raiz.

Passo 2

No caso de raiza^2 - x^2, a gente usa a substituição x = asintheta. A ideia é aproveitar sin^2theta + cos^2theta = 1, pois então
raiza^2 - x^2 = raiza^2 - a^2sin^2theta = acostheta
O diferencial é
dx = acostheta,dtheta

Passo 3

Para raiza^2 + x^2, escolhemos x = atantheta. Aqui usamos 1 + tan^2theta = sec^2theta, então
raiza^2 + x^2 = raiza^2 + a^2tan^2theta = asectheta,
e o diferencial é
dx = asec^2theta,dtheta

Passo 4

Quando aparece raizx^2 - a^2, usamos x = asectheta. Com isso vale sec^2theta - 1 = tan^2theta, portanto
raizx^2 - a^2 = raiza^2sec^2theta - a^2 = atantheta,
e o diferencial sai
dx = asecthetatantheta,dtheta

Resposta

  1. Para raiza^2 - x^2: x = asintheta, dx = acostheta,dtheta. 2) Para raiza^2 + x^2: x = atantheta, dx = asec^2theta,dtheta. 3) Para raizx^2 - a^2: x = asectheta, dx = asecthetatantheta,dtheta.

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