Explique o resultado dos componentes simétricos do seguinte sistema trifásico:
\begin{gathered} \mathrm{v}_{\mathrm{a}}(\mathrm{t})=440 \cos \left(\omega \mathrm{t}+27^{\circ}\right) \mathrm{V} \\ \mathrm{v}_{\mathrm{b}}(\mathrm{t})=440 \cos \left(\omega \mathrm{t}-93^{\circ}\right) \mathrm{V} \\ \mathrm{v}_{\mathrm{c}}(\mathrm{t})=440 \cos \left(\omega \mathrm{t}+147^{\circ}\right) \mathrm{V} \end{gathered}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um sistema trifásico cujas tensões são
v_a(t)=440\cos\bigl(\omega t+27^\circ\bigr),\quad v_b(t)=440\cos\bigl(\omega t-93^\circ\bigr),\quad v_c(t)=440\cos\bigl(\omega t+147^\circ\bigr).
O objetivo é decompor essas tensões em componentes simétricas (sequência zero, positiva e negativa) usando fasores.

Passo 2

Passamos as tensões para a forma fasorial (amplitude e ângulo):
V_a=440\angle27^\circ,\quad V_b=440\angle(-93^\circ),\quad V_c=440\angle147^\circ.

Passo 3

Definimos o operador
a=e^{j120^\circ},
e as componentes simétricas como
V_0=\frac{V_a+V_b+V_c}{3},\qquad V_1=\frac{V_a+a\,V_b+a^2\,V_c}{3},\qquad V_2=\frac{V_a+a^2\,V_b+a\,V_c}{3}.

Passo 4

Calculamos V_0:
V_a+V_b+V_c =440\bigl(e^{j27^\circ}+e^{j(-93^\circ)}+e^{j147^\circ}\bigr) =440\,e^{j27^\circ}\bigl(1+e^{-j120^\circ}+e^{j120^\circ}\bigr).
Mas sabemos que
1+e^{j120^\circ}+e^{-j120^\circ}=0,
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V_0=\frac{V_a+V_b+V_c}{3}=0.

Passo 5

Calculamos V_1:
V_a+a\,V_b+a^2\,V_c =440\bigl(e^{j27^\circ}+e^{j120^\circ}e^{j(-93^\circ)}+e^{j240^\circ}e^{j147^\circ}\bigr) =440\,e^{j27^\circ}\bigl(1+e^{j(120^\circ-120^\circ)}+e^{j(240^\circ+120^\circ)}\bigr) =440\,e^{j27^\circ}\times3.
Portanto
V_1=\frac{V_a+a\,V_b+a^2\,V_c}{3}=440\angle27^\circ.

Passo 6

Calculamos V_2:
V_a+a^2\,V_b+a\,V_c =440\,e^{j27^\circ}\bigl(1+e^{j(240^\circ-120^\circ)}+e^{j(120^\circ+120^\circ)}\bigr) =440\,e^{j27^\circ}\bigl(1+e^{j120^\circ}+e^{-j120^\circ}\bigr) =0,
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V_2=0.

Resposta

V_0 = 0
V_1 = 440\angle27^\circ
V_2 = 0

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