Prove porque para sistemas de 4 condutores: a corrente no neutro ou de retorno para a terra é 3 \widehat{I_{a 0}}.

Passo 1

A gente tem um sistema trifásico de quatro condutores (três fases + neutro) e quer saber qual é a corrente que circula no fio de neutro (ou de retorno/terra) quando usamos a decomposição em componentes simétricas. Para isso, vamos precisar
  1. da definição de corrente de neutro em função das correntes de fase,
  2. da expressão das correntes de fase em componentes positiva, negativa e zero,
  3. e de uma propriedade do operador de sequência a = e^{j120^\circ}.

Passo 2

A corrente de neutro I_n é justamente o somatório das correntes de fase, com sinal invertido (tomando como positivo para a fase e negativo para o retorno):
I_n \;=\; -\bigl(I_a + I_b + I_c\bigr).
Pela definição de componentes simétricas, cada corrente de fase se escreve como
I_a = I_{a1} + I_{a2} + I_{a0},\quad I_b = a^2 I_{a1} + a\, I_{a2} + I_{a0},\quad I_c = a\, I_{a1} + a^2 I_{a2} + I_{a0},
onde a = e^{j120^\circ} satisfaz 1 + a + a^2 = 0.

Passo 3

Somando I_a + I_b + I_c temos três parcelas:
  1. I_{a1} + a^2I_{a1} + aI_{a1} = I_{a1}(1 + a + a^2) = 0,
  2. I_{a2} + aI_{a2} + a^2I_{a2} = I_{a2}(1 + a + a^2) = 0,
  3. I_{a0} + I_{a0} + I_{a0} = 3\,I_{a0}.
    Logo
I_a + I_b + I_c = 0 + 0 + 3\,I_{a0} = 3\,I_{a0}.
Substituindo em I_n = -\bigl(I_a+I_b+I_c\bigr)
I_n = -3\,I_{a0}.

Passo 4

Em módulo, a corrente que retorna pelo neutro (ou à terra) é
\bigl|I_n\bigr| = 3\,\bigl|I_{a0}\bigr|,
e em forma de fasor podemos dizer que o neutro carrega 3\widehat{I_{a0}} (com 180° de defasagem se o sinal importar).

Resposta

A corrente de neutro é I_n = -3\,\widehat{I_{a0}}, de modo que seu módulo vale 3\,\bigl|\widehat{I_{a0}}\bigr|.

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