Explique por que S não é uma base de P_{2} :
S=\left\{1,2 x,-4+x^{2}, 5 x\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{\,1,\;2x,\;-4+x^{2},\;5x\,\}
e pede para explicar por que S não é uma base de P_{2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Os elementos de S são polinômios (cada um de grau menor ou igual a 2).
  • O espaço ambientede é P_{2}, isto é, o conjunto dos polinômios com grau no máximo 2.
  • A pergunta é apenas: por que S não é uma base de P_{2}? (ou seja, justificar por que S não satisfaz a definição de base)

Passo 2

O que significa ser uma base (explicação didática):
  • Um subconjunto B de um espaço vetorial é uma base se, e somente se, duas condições ocorrem simultaneamente:
    1. os vetores de B são linearmente independentes;
    2. os vetores de B geram o espaço (isto é, o span de B é todo o espaço).
  • Linearmente independente significa que a única combinação linear que dá o polinômio nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Em símbolos: um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é independente se a igualdade c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0implica c_1=c_2=\cdots=c_k=0.
  • Gerar o espaço (span) significa que qualquer elemento do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.

Passo 3

Uma informação útil sobre P_{2} (explicação passo a passo):
  • Qualquer polinômio de P_{2} pode ser escrito como a + b x + c x^{2},com a,b,c escalares.
  • Portanto, os polinômios 1,x,x^{2} formam um conjunto de três vetores que geram P_{2} e são linearmente independentes. Assim, a dimensão de P_{2} é 3.
  • Consequência prática: qualquer base de P_{2} deve ter exatamente 3 vetores. Se um conjunto tiver mais de 3 vetores, ele não pode ser uma base (porque então teria um número maior de vetores do que a dimensão, logo é linearmente dependente).

Passo 4

Aplicando isso a S:
  • O conjunto S tem 4 elementos, enquanto \dim(P_{2})=3.
  • Pela observação do passo anterior, já podemos concluir que S não pode ser uma base porque contém mais vetores do que a dimensão do espaço; portanto S é necessariamente linearmente dependente e não satisfaz a condição de independência exigida a uma base.

Passo 5

Mostrando explicitamente a dependência linear (para ficar bem concreto — passo a passo das contas):
  • Observe os vetores 2x e 5x em S. Eles são múltiplos um do outro: 5\cdot(2x)=10x e 2\cdot(5x)=10x.
  • Isso fornece uma combinação linear não-trivial que dá zero: 5\cdot(2x) - 2\cdot(5x) = 0.Aqui os coeficientes não são todos zero (são 5 e -2 nas posições correspondentes a 2x e 5x), portanto existe uma relação linear não-trivial entre os elementos de S.
  • Conclusão lógica: como existe uma combinação linear não-trivial que dá o polinômio zero, o conjunto S é linearmente dependente.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para prova:
  • Ter dois vetores proporcionais (como 2x e 5x) já basta para garantir dependência linear — é o jeito mais rápido de detectar problema em conjuntos de polinômios/vetores na prova.
  • Logo, S não é base de P_{2} porque falha na condição de independência (além de ter mais vetores do que a dimensão do espaço).

Resposta

S não é base de P_{2} porque é linearmente dependente: 5\cdot(2x)-2\cdot(5x)=0 (e, alternativamente, porque S tem 4 vetores enquanto \dim(P_{2})=3).

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