Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para explicar por que
não é uma base de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Os elementos de
são polinômios (cada um de grau menor ou igual a ). - O espaço ambientede é
, isto é, o conjunto dos polinômios com grau no máximo . - A pergunta é apenas: por que
não é uma base de ? (ou seja, justificar por que não satisfaz a definição de base)
Passo 2
O que significa ser uma base (explicação didática):
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é uma base se, e somente se, duas condições ocorrem simultaneamente: - os vetores de
são linearmente independentes; - os vetores de
geram o espaço (isto é, o span de é todo o espaço).
- os vetores de
- Linearmente independente significa que a única combinação linear que dá o polinômio nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Em símbolos: um conjunto
é independente se a igualdade implica . - Gerar o espaço (span) significa que qualquer elemento do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
Passo 3
Uma informação útil sobre
(explicação passo a passo):
- Qualquer polinômio de
pode ser escrito como com escalares. - Portanto, os polinômios
formam um conjunto de três vetores que geram e são linearmente independentes. Assim, a dimensão de é . - Consequência prática: qualquer base de
deve ter exatamente vetores. Se um conjunto tiver mais de vetores, ele não pode ser uma base (porque então teria um número maior de vetores do que a dimensão, logo é linearmente dependente).
Passo 4
Aplicando isso a
:
- O conjunto
tem elementos, enquanto . - Pela observação do passo anterior, já podemos concluir que
não pode ser uma base porque contém mais vetores do que a dimensão do espaço; portanto é necessariamente linearmente dependente e não satisfaz a condição de independência exigida a uma base.
Passo 5
Mostrando explicitamente a dependência linear (para ficar bem concreto — passo a passo das contas):
- Observe os vetores
e em . Eles são múltiplos um do outro: e . - Isso fornece uma combinação linear não-trivial que dá zero:
Aqui os coeficientes não são todos zero (são e nas posições correspondentes a e ), portanto existe uma relação linear não-trivial entre os elementos de . - Conclusão lógica: como existe uma combinação linear não-trivial que dá o polinômio zero, o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para prova:
- Ter dois vetores proporcionais (como
e ) já basta para garantir dependência linear — é o jeito mais rápido de detectar problema em conjuntos de polinômios/vetores na prova. - Logo,
não é base de porque falha na condição de independência (além de ter mais vetores do que a dimensão do espaço).