Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O enunciado pede que eu explique por que
não é uma base de
. As informações dadas são:
- O conjunto
é . - O espaço vetorial considerado é
, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a (assumindo coeficientes em ).
Passo 2
Definição importante (calma, é só decorar a ideia): dizer que um conjunto
é base de um espaço vetorial
significa duas coisas simultâneas:
-
gera (ou seja, qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores de ); e -
é linearmente independente (ou seja, a única combinação linear dos vetores de que dá o vetor nulo é a combinação trivial com todos coeficientes zero).
Vou explicar cada termo de jeito simples:
- Combinação linear de vetores
é qualquer coisa da forma , com escalares . - Gerar
significa que o conjunto de todas essas combinações lineares é o próprio . - Linearmente independente significa que, se
(o vetor nulo), então .
Passo 3
Característica do espaço
: todo polinômio em
tem a forma
com
. Então os três polinômios
pertencem a
e são independentes entre si; por isso formam uma base canônica de
. Logo o espaço
é de dimensão
:
Explicando rápido por que a dimensão é
: precisamos de três coeficientes
para descrever arbitrariamente um polinômio de grau ≤
; portanto qualquer base de
terá exatamente
vetores.
Passo 4
Olhemos para
: ele contém exatamente dois vetores, isto é,
Como
, qualquer base de
deve ter exatamente
vetores. Assim, por contagem simples, um conjunto com apenas
vetores não pode ser uma base de um espaço de dimensão
. Essa já é uma razão suficiente:
não é base.
Passo 5
Para ficar bem claro (e poder usar na prova se te pedirem uma demonstração mais construtiva), mostro explicitamente que
não gera
. Considere uma combinação linear arbitrária dos elementos de
:
onde
. Observe que essa combinação NÃO tem termo constante (coeficiente de
é sempre
). Portanto nenhum elemento da
pode ser o polinômio constante
. Em símbolos:
Logo
não gera
.
Passo 6
Para aumentar a intuição:
é, na verdade, linearmente independente. Demonstração curta: se
como polinômio nulo, então o coeficiente de
é
e o coeficiente de
é
, de onde
e
. Assim
é independente mas pequena demais (são só dois vetores) para gerar um espaço tridimensional.
Passo 7
Conclusão final da resolução passo a passo:
não é base de
porque falha a condição de geração (e, mais simplesmente, porque tem menos vetores do que a dimensão de
). Se quiser anotar uma frase curta para a prova: “Um conjunto de dois polinômios não pode ser base de
porque
; alternativamente,
não está em
.”