Explique por que S não é uma base de P_{2} :
S=\left\{-x, 4 x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que eu explique por que S não é uma base de P_{2}. As informações dadas são:
  • O conjunto S é S=\{-x,\;4x^{2}\}.
  • O espaço vetorial considerado é P_{2}, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 (assumindo coeficientes em \mathbb{R}).

Passo 2

Definição importante (calma, é só decorar a ideia): dizer que um conjunto B é base de um espaço vetorial V significa duas coisas simultâneas:
  1. B gera V (ou seja, qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B); e
  2. B é linearmente independente (ou seja, a única combinação linear dos vetores de B que dá o vetor nulo é a combinação trivial com todos coeficientes zero).
Vou explicar cada termo de jeito simples:
  • Combinação linear de vetores v_{1},v_{2},\dots,v_{k} é qualquer coisa da forma \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}, com escalares \alpha_{i}.
  • Gerar V significa que o conjunto de todas essas combinações lineares é o próprio V.
  • Linearmente independente significa que, se \alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0 (o vetor nulo), então \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0.

Passo 3

Característica do espaço P_{2}: todo polinômio em P_{2} tem a forma
a + b x + c x^{2},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Então os três polinômios \,1,\;x,\;x^{2}\, pertencem a P_{2} e são independentes entre si; por isso formam uma base canônica de P_{2}. Logo o espaço P_{2} é de dimensão 3:
\dim(P_{2})=3.
Explicando rápido por que a dimensão é 3: precisamos de três coeficientes a,b,c para descrever arbitrariamente um polinômio de grau ≤ 2; portanto qualquer base de P_{2} terá exatamente 3 vetores.

Passo 4

Olhemos para S: ele contém exatamente dois vetores, isto é,
|S|=2.
Como \dim(P_{2})=3, qualquer base de P_{2} deve ter exatamente 3 vetores. Assim, por contagem simples, um conjunto com apenas 2 vetores não pode ser uma base de um espaço de dimensão 3. Essa já é uma razão suficiente: |S|\neq\dim(P_{2})\Rightarrow S não é base.

Passo 5

Para ficar bem claro (e poder usar na prova se te pedirem uma demonstração mais construtiva), mostro explicitamente que S não gera P_{2}. Considere uma combinação linear arbitrária dos elementos de S:
\alpha(-x)+\beta(4x^{2}) = -\alpha x + 4\beta x^{2},
onde \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Observe que essa combinação NÃO tem termo constante (coeficiente de x^{0} é sempre 0). Portanto nenhum elemento da \operatorname{span}(S) pode ser o polinômio constante 1. Em símbolos:
1\notin\operatorname{span}(S).
Logo S não gera P_{2}.

Passo 6

Para aumentar a intuição: S é, na verdade, linearmente independente. Demonstração curta: se
\alpha(-x)+\beta(4x^{2})=0
como polinômio nulo, então o coeficiente de x é -\alpha=0 e o coeficiente de x^{2} é 4\beta=0, de onde \alpha=0 e \beta=0. Assim S é independente mas pequena demais (são só dois vetores) para gerar um espaço tridimensional.

Passo 7

Conclusão final da resolução passo a passo: S não é base de P_{2} porque falha a condição de geração (e, mais simplesmente, porque tem menos vetores do que a dimensão de P_{2}). Se quiser anotar uma frase curta para a prova: “Um conjunto de dois polinômios não pode ser base de P_{2} porque \dim(P_{2})=3; alternativamente, 1 não está em \operatorname{span}(S).”

Resposta

S não é base de P_{2} porque |S|=2<3=\dim(P_{2}); equivalente: S não gera P_{2} (por exemplo, 1\notin\operatorname{span}(S)).

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