Explique por que a seguinte integral é imprópria.
integral0^infty 11+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que a integral
integral0^infty11+x^2,dx
é considerada imprópria. O conteúdo aqui é integras impróprias e vamos precisar usar a definição de integral sobre intervalo não limitado.

Passo 2

Uma integral é dita imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando o integrando apresenta singularidades no intervalo. No nosso caso, a função f(x)=11+x^2 é contínua em todo o intervalo [0,infty), então não há singularidades. O que a torna imprópria é o fato de que o limite superior é infinito.

Passo 3

Para lidar com intervalos infinitos, definimos
integral0^infty11+x^2,dx=limbtoinftyintegral0^b11+x^2,dx
Portanto essa integral é imprópria porque requer o uso desse limite para ser bem definida.

Resposta

A integral é imprópria pois o intervalo de integração é ilimitado em xtoinfty, exigindo a definição como limite: integral0^inftyf(x)dx=limbtoinftyintegral0^bf(x)dx.

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