Explique por que os seguintes argumentos estão ERRADOS:
lim x 1[(x^3+x^2-2 x) /(x^2+2 x-3)]=0, pois lim x 1(x^3+x^2-2 x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1x^3+x^2-2xx^2+2x-3
usando a propriedade de limites de quocientes. Para aplicar
limxto af(x)g(x) = limxto af(x)limxto ag(x)
é fundamental que limxto ag(x)neq0.

Passo 2

Vamos verificar separadamente os limites do numerador e do denominador por substituição direta em x=1:
limxto1(x^3+x^2-2x) =1^3+1^2-2cdot1 =0,
limxto1(x^2+2x-3) =1^2+2cdot1-3 =0
Portanto obtemos a forma indeterminada tfrac00.

Passo 3

Como o denominador também tende a zero, não podemos usar diretamente
lim flim g, pois isso exigiria lim gneq0. O argumento que conclui imediatamente 0/0=0 está, então, equivocado.

Passo 4

Para eliminar a indeterminação, fatoramos numerador e denominador:
x^3+x^2-2x = x(x^2+x-2) = x(x-1)(x+2),
x^2+2x-3 =(x-1)(x+3)
Cancelamos o fator comum (x-1) (válido para xneq1) e obtemos
x^3+x^2-2xx^2+2x-3 = x(x-1)(x+2)(x-1)(x+3) = x(x+2)x+3

Passo 5

Agora o limite deixa de ser indeterminado e podemos substituir x=1:
limxto1x(x+2)x+3 =1cdot(1+2)1+3 =34

Resposta

O erro do argumento original é que ele ignorou o fato de que o denominador também tende a zero, invalidando a regra lim(f/g)=lim f/lim g. O valor correto do limite é tfrac34, não 0.

Exercícios relacionados