Resolva a equação y y^prime prime=(y^prime)^2 na suposição de que y e y^prime são positivos.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y,y'' = (y')^2
sob a suposição de que y>0 e y'>0. Vamos usar a técnica de redução de ordem através da substituição p=y' e a regra da cadeia.

Passo 2

Defina p = y'. Então, pela regra da cadeia,
y'' = dpdx = dpdy,dydx = p,dpdy
Substituindo em y,y'' = (y')^2 temos
y;l(p,tfracdpdyr) = p^2

Passo 3

Como p>0, podemos dividir por p e obter
y,dpdy = p Longrightarrow dpp = dyy

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dpp = integral dyy Longrightarrow ln p = ln y + C1 Longrightarrow p = C,y,
onde C = e^C1>0.

Passo 5

Voltando a p=y', temos
y' = C,y Longrightarrow dyy = C,dx Longrightarrow integral dyy = integral C,dx Longrightarrow ln y = Cx + C2
Logo,
y = A,e^C x,
com A = e^C2>0 e C>0 para manter y'>0.

Resposta

y(x) = A,e^C x,
com A>0 e C>0.

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