Considere uma função f com a seguinte propriedade: se g é qualquer função para a qual lim x 0 g(x) não existe, então lim x 0[f(x)+g(x)] também não existe. Prove que isso acontece se e somente se lim x 0 f(x) existe.
Dica: Isso é, na verdade, muito fácil: a suposição de que lim x 0 f(x) não existe leva a uma contradição imediata se você considerar o g certo.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função f com a propriedade de que, sempre que uma função g satisfaz limxto 0g(x) não existe, então limxto 0[f(x)+g(x)] também não existe. O conteúdo aqui é teoria de limites de funções e propriedades de soma de limites, e vamos usar definição de limite e argumento de contradição.

Passo 2

Provar que se limxto 0f(x) existe então a propriedade vale: suponha limxto 0f(x)=L. Se existisse uma função g tal que limxto 0[f(x)+g(x)] existisse (digamos igual a M), então usando a propriedade de soma e diferença de limites teríamos
limxto 0g(x)=limxto 0l[(f(x)+g(x)) - f(x)r]=M - L,
ou seja, limxto 0g(x) existiria, contra a hipótese de g. Logo, f+g não pode ter limite sempre que g não tem.

Passo 3

Provar que se a propriedade vale então limxto 0f(x) existe: suponha, por contraposição, que limxto 0f(x) não existe. Defina
g(x) = -f(x)

Passo 4

Então g não tem limite em 0 (pois f não tem) mas
f(x)+g(x)=f(x)-f(x)=0
cujo limite em 0 é 0. Isso contradiz a propriedade dada. Portanto, limxto 0f(x) deve existir.

Resposta

A condição ocorre se e somente se limxto 0f(x) existir.

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