Considere uma função
com a seguinte propriedade: se
é qualquer função para a qual
não existe, então
também não existe. Prove que isso acontece se e somente se
existe.
Dica: Isso é, na verdade, muito fácil: a suposição de que
não existe leva a uma contradição imediata se você considerar o
certo.
Dica: Isso é, na verdade, muito fácil: a suposição de que
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma função f com a propriedade de que, sempre que uma função g satisfaz
não existe, então
também não existe. O conteúdo aqui é teoria de limites de funções e propriedades de soma de limites, e vamos usar definição de limite e argumento de contradição.
Passo 2
Provar que se
existe então a propriedade vale: suponha
. Se existisse uma função g tal que
existisse (digamos igual a M), então usando a propriedade de soma e diferença de limites teríamos
ou seja,
Passo 3
Provar que se a propriedade vale então
existe: suponha, por contraposição, que
não existe. Defina
Passo 4
Então
não tem limite em 0 (pois f não tem) mas
cujo limite em 0 é 0. Isso contradiz a propriedade dada. Portanto,
Resposta
A condição ocorre se e somente se
existir.