Explique por que as seguintes definições de
estão todas corretas:
Para todo
, existe um
tal que, para todo
, se
, então
.
Para todo
Passo 1
A questão pede para mostrar que trocar o critério “0<|x–a|<δ” por “0<|x–a|<δ/10” ainda define corretamente o limite \
. O conteúdo principal é o conceito formal de limite com ε–δ, e vamos precisar entender que podemos reescalar δ sem mudar a essência da definição.
Passo 2
Começo mostrando que, se f satisfaz a definição padrão, então satisfaz a versão com δ/10. Suponha que para todo ε>0 exista um
tal que \ $
Defina então
. Se
, então
e, pela hipótese padrão, segue
. Isso mostra que a definição modificada vale.
Passo 3
Agora mostro o sentido contrário: se a versão com δ/10 vale, então vale a padrão. Suponha que para todo ε>0 exista
tal que \ $
Basta escolher
. Então, sempre que
, teremos
e, pela versão modificada,
. Isso recupera a definição padrão.
Passo 4
Como cada definição implica a outra, elas são logicamente equivalentes. Ou seja, usar “<δ” ou “<δ/10” na hipótese de distância de x a a não altera a validade da definição de limite.
Resposta
As duas formulações são equivalentes porque basta reescalar o δ (tomando δ_m=10·δ_p ou δ_p=δ_m/10) para passar de uma definição à outra sem alterar a condição
.