Explique por que as seguintes definições de lim x a f(x)=l estão todas corretas:
Para todo varepsilon>0, existe um de0 tal que, para todo x, se 0<|x-a|, então |f(x)-l|.

Passo 1

A questão pede para mostrar que trocar o critério “0<|x–a|<δ” por “0<|x–a|<δ/10” ainda define corretamente o limite \ limxto af(x)=l. O conteúdo principal é o conceito formal de limite com ε–δ, e vamos precisar entender que podemos reescalar δ sem mudar a essência da definição.

Passo 2

Começo mostrando que, se f satisfaz a definição padrão, então satisfaz a versão com δ/10. Suponha que para todo ε>0 exista um δp>0 tal que \ $ 0<|x-a|<δp;Longrightarrow;|f(x)-l|<ε Defina então δm=10,δp. Se 0<|x-a|<δm/10, então 0<|x-a|<δp e, pela hipótese padrão, segue |f(x)-l|<ε. Isso mostra que a definição modificada vale.

Passo 3

Agora mostro o sentido contrário: se a versão com δ/10 vale, então vale a padrão. Suponha que para todo ε>0 exista δm>0 tal que \ $ 0<|x-a|<δm/10;Longrightarrow;|f(x)-l|<ε Basta escolher δp=δm/10. Então, sempre que 0<|x-a|<δp, teremos 0<|x-a|<δm/10 e, pela versão modificada, |f(x)-l|<ε. Isso recupera a definição padrão.

Passo 4

Como cada definição implica a outra, elas são logicamente equivalentes. Ou seja, usar “<δ” ou “<δ/10” na hipótese de distância de x a a não altera a validade da definição de limite.

Resposta

As duas formulações são equivalentes porque basta reescalar o δ (tomando δ_m=10·δ_p ou δ_p=δ_m/10) para passar de uma definição à outra sem alterar a condição |f(x)-l|<ε.

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