Explique por que é sempre possível expressar qualquer equação diferencial homogênea M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 na forma
d yd x=F(yx)
Você pode começar provando que
M(x, y)=x^q M(1, y / x) e N(x, y)=x^a N(1, y / x)

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma equação diferencial homogênea
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
em que tanto M quanto N são funções homogêneas de mesmo grau q. O objetivo é mostrar que isso sempre se reduz a
dydx = Fl(tfracyxr)

Passo 2

O truque principal é usar a definição de função homogênea de grau q:
Uma função f(x,y) é homogênea de grau q se para todo t vale
f(tx,ty) = t^q,f(x,y)
Aqui sabemos que tanto M quanto N satisfazem essa relação.

Passo 3

Para provar a forma pedida de M, escolhemos t = 1/x (supondo xneq0). Então:
$$M\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr) = M\bigl(\tfrac1x x,\tfrac1x y\bigr) = \bigl(\tfrac1x\bigr)^q M(x,y).
$$
Reescrevendo, obtemos
Ml(1,tfracyxr) = Ml(tfrac1x x,tfrac1x yr) = l(tfrac1xr)^q M(x,y)

Passo 4

Fazendo o mesmo raciocínio para N, também temos
$$N\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr) = \bigl(\tfrac1x\bigr)^q N(x,y)
$$
e portanto
Nl(1,tfracyxr) = l(tfrac1xr)^q N(x,y)

Passo 5

Agora substituímos essas expressões na equação diferencial original:
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
fica
x^q Ml(1,ur),dx + x^q Nl(1,ur),dy = 0,
onde definimos u = y/x.

Passo 6

Para simplificar, dividimos tudo por x^q,dx (com xneq0):
M(1,u) + N(1,u),dydx = 0

Passo 7

Isolando tfracdydx, temos
Voltando ao nosso dydx = -M(1,u)N(1,u) eqqcolon F(u), isso dá exatamente
u = y/x

Passo 8

Concluímos que qualquer equação diferencial homogênea pode sempre ser transformada na forma dy/dx = F(y/x), bastando usar a propriedade de homogeneidade e a substituição clássica u = y/x.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{M\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr)}{N\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr)}

Exercícios relacionados