Explique por que é sempre possível expressar qualquer equação diferencial homogênea
na forma
Você pode começar provando que
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma equação diferencial homogênea
em que tanto
quanto
são funções homogêneas de mesmo grau
. O objetivo é mostrar que isso sempre se reduz a
Passo 2
O truque principal é usar a definição de função homogênea de grau
:
Uma função
é homogênea de grau
se para todo
vale
Aqui sabemos que tanto
quanto
satisfazem essa relação.
Passo 3
Para provar a forma pedida de
, escolhemos
(supondo
). Então:
$$M\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr) = M\bigl(\tfrac1x x,\tfrac1x y\bigr) = \bigl(\tfrac1x\bigr)^q M(x,y).
$$
Reescrevendo, obtemos
Passo 4
Fazendo o mesmo raciocínio para
, também temos
$$N\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr) = \bigl(\tfrac1x\bigr)^q N(x,y)
$$
e portanto
Passo 5
Agora substituímos essas expressões na equação diferencial original:
fica
onde definimos
.
Passo 6
Para simplificar, dividimos tudo por
(com
):
Passo 7
Isolando
, temos
Voltando ao nosso
, isso dá exatamente
Passo 8
Concluímos que qualquer equação diferencial homogênea pode sempre ser transformada na forma
, bastando usar a propriedade de homogeneidade e a substituição clássica
.
Resposta
\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{M\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr)}{N\bigl(1,\tfrac{y}{x}\bigr)}