Explique como será o movimento da partícula quando a mesma for abandonada em repouso na posição mais distante da origem onde a energia potencial é igual a
. Qual a máxima velocidade atingida?
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre o problema que você trouxe! A gente precisa entender como se comporta uma partícula quando ela é deixada em repouso na posição mais distante da origem, onde a energia potencial é de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e energia cinética, além da lei da conservação da energia. Vamos precisar dessas ideias para descobrir qual é a máxima velocidade que a partícula vai atingir.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que a energia total de um sistema conservativo, como o nosso caso, é a soma da energia potencial (
) e da energia cinética (
). A equação que representa isso é:
Passo 3
Quando a partícula está na posição mais distante e é deixada em repouso, a energia cinética (
) dela é zero, porque ela não está se movendo. Então, toda a energia total do sistema é igual à energia potencial nessa posição:
Passo 4
Agora, quando a partícula começa a se mover em direção à origem, a energia potencial vai aumentando (ficando menos negativa) e a energia cinética vai aumentando também, porque a partícula está ganhando velocidade. De acordo com a lei da conservação da energia, a energia total permanece constante. Então, a soma de
e
sempre será
.
Passo 5
A máxima velocidade da partícula ocorre quando a energia potencial é a menor possível (mais negativa), e a energia cinética é a maior possível. No nosso caso, o mínimo de
já é
, então a máxima velocidade acontece quando a energia potencial se aproxima desse valor e a energia cinética atinge seu pico.
Passo 6
Para encontrar a máxima velocidade, podemos rearranjar a equação da conservação da energia para resolver a energia cinética:
Como a energia cinética é:
Podemos igualar as duas expressões:
Passo 7
Assumindo que na posição de máxima velocidade a energia potencial é zero (já que toda a energia é cinética), podemos simplificar:
Resolvendo para
:
Passo 8
Porém, como velocidade não pode ser imaginária, percebemos que houve um erro na suposição. A energia potencial na posição de máxima velocidade deve ser mínima, mas a energia cinética será máxima quando a energia potencial for máxima (mais positiva). Assim, precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 9
Reformulando, quando a partícula passa pela origem, sua energia potencial é mínima, e a energia cinética é máxima. Então, a energia total é igual à energia cinética máxima:
Entretanto, isso também sugere que
seria negativa, o que não faz sentido. Portanto, precisamos considerar que a energia potencial no ponto de máximo deslocamento é
e, na origem, provavelmente
. Assim, a energia cinética máxima será:
Isso ainda não resolve, então parece que faltam informações sobre a relação entre
e a posição.
Passo 10
Para corrigir, vamos considerar que a energia potencial
está relacionada ao deslocamento
da partícula pela equação:
Onde
é a constante elástica do sistema. Dado que na posição mais distante:
Passo 11
Resolvendo para
:
Isso implica que
é negativo, o que não é físico para uma constante elástica. Portanto, parece que a energia potencial deveria ser positiva. Assim, provavelmente houve um erro no enunciado ou na interpretação inicial.
Resposta
Pelo que analisamos, há inconsistências na interpretação da energia potencial fornecida. Com os dados atuais, não é possível determinar de forma física correta a máxima velocidade da partícula. Recomendo verificar os valores e a relação entre energia potencial e deslocamento para resolver adequadamente o problema.