Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln \left(n^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln\bigl(n^{2}+4\bigr)},
sabendo que a constante p dos testes usuais é maior que 1. O conteúdo principal aqui são os testes de convergência de séries de termos positivos, em especial o teste da integral (e poderíamos também usar o teste da condensação de Cauchy).

Passo 2

Definimos a função f(x)=1/\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) para x\ge1. Note que para x\ge1 temos:
  1. f(x)>0.
  2. f'(x)<0, ou seja, f é decrescente para x grande (pode-se verificar derivando e vendo que o numerador fica negativo).
    Portanto, podemos aplicar o teste da integral à série \sum_{n=1}^\infty f(n).

Passo 3

Aplique o teste da integral considerando
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)}.
Para x\ge2 temos
\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)\le \ln\bigl(x^{2}+x^{2}\bigr) =\ln\bigl(2x^{2}\bigr)=\ln 2+2\ln x \le 2\ln x + \underbrace{\ln 2}_{\text{constante}}.
Logo, para x grande
\frac{1}{\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)} \ge \frac{1}{2\ln x+\ln 2} \ge \frac{1}{C\,\ln x},
onde C=2+\frac{\ln2}{\ln x} pode ser estimado por uma constante próxima de 2 para x grande.

Passo 4

Comparando com a integral mais simples, para x\ge e:
\int_{e}^{\infty}\frac{dx}{\ln x}
sabe-se que diverge (é o caso clássico da integral de 1/\ln x, que cresce sem limite). Como
\frac{1}{\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)} \gtrsim \frac{1}{2\,\ln x},
segue que
\int_{e}^{\infty}\frac{dx}{\ln\bigl(x^{2}+4\bigr)} \ge \frac12\int_{e}^{\infty}\frac{dx}{\ln x} =\infty.

Passo 5

Pelo teste da integral, se
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx = \infty
então a série
\sum_{n=1}^{\infty}f(n) também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln\bigl(n^{2}+4\bigr)}
diverge.

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