Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste de comparação (ou limite de comparação) com uma série
, usando que para
pequeno
.
Passo 2
Para
grande, o argumento
de
é pequeno. Da expansão em série de Taylor temos
Isso sugere que
Passo 3
Definimos a série de comparação
Esta é uma série
com
, logo
converge.
Passo 4
Aplicamos o teste do limite de comparação:
onde
. Como o limite é um número finito e não nulo,
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 5
Já que
converge e
, concluímos pelo teste de limite de comparação que
também converge.
Resposta
A série converge.