Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n+1}{2 n^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{2n^{2}+5}
usando o teste de séries do tipo p-série. Lembrando que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Para decidir o comportamento da dada, vamos comparar seu termo geral com um termo de p-série apropriado.

Passo 2

Observamos o comportamento para n grande. O termo geral
a_{n}=\frac{3n+1}{2n^{2}+5}
tem grau do numerador igual a 1 e grau do denominador igual a 2. Logo, para n\to\infty,
a_{n}\sim\frac{3n}{2n^{2}}=\frac{3}{2}\,\frac{1}{n}.
Isso sugere comparar com a série harmônica \sum1/n, que é a p-série com p=1.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite entre a_{n} e b_{n}=1/n. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n+1}{2n^{2}+5}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n(3n+1)}{2n^{2}+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}+n}{2n^{2}+5} =\frac{3}{2}.
Esse limite é um número finito e não nulo.

Passo 4

Como \sum b_{n}=\sum1/n diverge (é a p-série com p=1), e o limite de comparação é \tfrac{3}{2}>0, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{2n^{2}+5}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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