Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste de séries do tipo
-série. Lembrando que a
-série
converge se, e somente se,
. Para decidir o comportamento da dada, vamos comparar seu termo geral com um termo de
-série apropriado.
Passo 2
Observamos o comportamento para
grande. O termo geral
tem grau do numerador igual a 1 e grau do denominador igual a 2. Logo, para
,
Isso sugere comparar com a série harmônica
, que é a
-série com
.
Passo 3
Aplicamos o teste da comparação limite entre
e
. Calculamos
Esse limite é um número finito e não nulo.
Passo 4
Como
diverge (é a
-série com
), e o limite de comparação é
, concluímos que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.