Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1-\cos\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\bigr)
converge ou diverge. O conteúdo principal é teste de convergência de séries, em particular usar a expansão de Taylor de \cos x para pequenos x e comparar com uma série p-série \sum1/n^p, que converge se p>1.

Passo 2

Para x pequeno vale a expansão de Taylor
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4).
Tomando x=\tfrac1n, obtemos
\cos\bigl(\tfrac1n\bigr) = 1 - \frac{1}{2n^2} + O\bigl(n^{-4}\bigr),
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1 - \cos\bigl(\tfrac1n\bigr) = \frac{1}{2n^2} + O\bigl(n^{-4}\bigr).

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos(1/n)}{1/n^2} = \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12
e a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^2 é convergente (é uma p-série com p=2>1), pelo teste de comparação-limite a série dada também converge.

Resposta

A série converge.

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