Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
converge ou diverge. O conteúdo principal é teste de comparação assintótica de séries, usando a expansão de Taylor de \sin x para x\approx0.

Passo 2

Quando n\to\infty, o argumento x=\tfrac{1}{n} fica pequeno, e pela expansão de Taylor em torno de zero temos
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
Substituindo x=\tfrac{1}{n} resulta
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = \frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3} + O\!\bigl(n^{-5}\bigr) \;\approx\;\frac{1}{n}.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, aplicamos o teste da comparação limite com a série harmônica \sum1/n. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1.
Como 0<L<\infty e \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} diverge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
também diverge, pelo teste da comparação limite.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados