Exercício 5. Faça o que se pede:
Derive a função f(x)=e^{x} \cdot \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado nos pede para derivar a função
f(x)=e^{x}\cdot \operatorname{sen}x.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto de derivadas, juntamente com as fórmulas
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\!\operatorname{sen}x=\cos x.

Passo 2

Identificamos
u(x)=e^{x} \quad\text{e}\quad v(x)=\operatorname{sen}x.
Pela regra do produto, temos
(uv)' = u'\,v + u\,v'.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada uma das funções:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
v'(x)=\frac{d}{dx}\!\operatorname{sen}x=\cos x.

Passo 4

Substituindo na regra do produto, obtemos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) = e^{x}\cdot \operatorname{sen}x \;+\; e^{x}\cdot \cos x.
Podemos ainda fatorar e^{x}, ficando
f'(x)=e^{x}\bigl(\operatorname{sen}x+\cos x\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x}\bigl(\operatorname{sen}x+\cos x\bigr).

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