Explique o que significa dizer que
e
Nesta situação, é possível que
exista? Explique.
Nesta situação, é possível que
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos duas afirmações de limites de uma função
:
e
.
O conteúdo aqui é a definição de limite de função em um ponto. Para resolver, vamos usar a noção ε–δ e ressaltar que a existência do limite não depende de o valor de estar definido ou não no ponto.
O conteúdo aqui é a definição de limite de função em um ponto. Para resolver, vamos usar a noção ε–δ e ressaltar que a existência do limite não depende de o valor de
Passo 2
A afirmação
significa exatamente que
para todo existe
tal que, sempre que
para todo
então
Isto é, quando
se aproxima de
(mas sem ser igual a
), o valor de
fica arbitrariamente próximo de
.
Passo 3
De modo totalmente análogo,
quer dizer que para todo
existe
tal que, sempre que
temos
Passo 4
Repare que em nenhuma dessas definições aparece
ou
avaliados exatamente nesses pontos. O limite descreve apenas o comportamento de
quando
se aproxima, mas não impõe que
esteja definido em
ou em
, nem que
ou
.
Em particular, é perfeitamente possível que:
-
não esteja definida, e mesmo assim exista; -
exista mas seja, por exemplo, (ou qualquer outro valor) sem alterar o fato de o limite em ser .
Resposta
Sim. A existência de
não exige que
esteja definida nem que tenha valor igual a
.