Explique o que significa dizer que
\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=3 e \lim _{x \rightarrow-2} f(x)=7
Nesta situação, é possível que \lim_{x \rightarrow -1} f(x) exista? Explique.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas afirmações de limites de uma função f: \displaystyle \lim_{x\to -1}f(x)=3 e \displaystyle \lim_{x\to -2}f(x)=7.
O conteúdo aqui é a definição de limite de função em um ponto. Para resolver, vamos usar a noção ε–δ e ressaltar que a existência do limite não depende de o valor de f estar definido ou não no ponto.

Passo 2

A afirmação
\lim_{x\to -1}f(x)=3
significa exatamente que
para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que
0<|x-(-1)|<\delta,
então
|f(x)-3|<\varepsilon.
Isto é, quando x se aproxima de -1 (mas sem ser igual a -1), o valor de f(x) fica arbitrariamente próximo de 3.

Passo 3

De modo totalmente análogo,
\lim_{x\to -2}f(x)=7
quer dizer que para todo \varepsilon>0 existe \delta'>0 tal que, sempre que
0<|x-(-2)|<\delta',
temos
|f(x)-7|<\varepsilon.

Passo 4

Repare que em nenhuma dessas definições aparece f(-1) ou f(-2) avaliados exatamente nesses pontos. O limite descreve apenas o comportamento de f(x) quando x se aproxima, mas não impõe que f esteja definido em -1 ou em -2, nem que f(-1)=3 ou f(-2)=7.
Em particular, é perfeitamente possível que:
  • f(-1) não esteja definida, e mesmo assim \lim_{x\to -1}f(x)=3 exista;
  • f(-1) exista mas seja, por exemplo, f(-1)=10 (ou qualquer outro valor) sem alterar o fato de o limite em -1 ser 3.

Resposta

Sim. A existência de \displaystyle \lim_{x\to -1}f(x)=3 não exige que f(-1) esteja definida nem que tenha valor igual a 3.

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