Questão 3 (3 pontos)

Encontre a equação da cônica na forma padrão transladada, identifique-a (elipse, parábola ou hipérbole) e indique a(s) posição(ões) (x, y) de seu(s) foco(s).
x^{2}-4 x+8 y+36=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^{2} - 4x + 8y + 36 = 0
e pede a forma padrão transladada, a identificação do tipo de cônica e a(s) coordenada(s) do(s) foco(s). Vamos usar completamento de quadrado em x para obter a forma canônica e, em seguida, lembrar que uma equação do tipo (x-h)^{2}=4p(y-k) é uma parábola com vértice (h,k) e foco em \bigl(h,\,k+p\bigr).

Passo 2

Fazendo o completamento de quadrado em x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2} - 4.
Substituindo na equação original:
(x-2)^{2} - 4 + 8y + 36 = 0
(x-2)^{2} + 8y + 32 = 0.

Passo 3

Isolando y e colocando no formato padrão:
8y = -\,(x-2)^{2} - 32
y = -\tfrac{1}{8}(x-2)^{2} - 4\nequivalentemente
(x-2)^{2} = -8\,\bigl(y + 4\bigr).

Passo 4

A forma (x-h)^{2}=4p(y-k) mostra que é uma parábola vertical. Aqui temos
4p = -8\quad\Longrightarrow\quad p = -2,
logo a parábola tem concavidade para baixo.

Passo 5

O vértice é (h,k)=(2,-4). O foco de uma parábola (x-h)^{2}=4p(y-k) fica em
\bigl(h,\,k+p\bigr) = \bigl(2,\,-4 + (-2)\bigr) = (2,\,-6).

Resposta

A cônica é uma parábola de concavidade para baixo, cuja forma padrão transladada é
(x-2)^{2} = -8\,(y+4),
e o foco fica em \bigl(2,-6\bigr).

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