Prove que se existir uma infinidade de índices n tais que \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \geq 1 então a série \sum a_{n} diverge. Se a_{n} \neq 0 para todo n e \left|a_{n+1} / a_{n}\right| \geq 1 para todo n>n_{0} então \sum a_{n} diverge. Por outro lado, a série 1 / 2+1 / 2+1 / 2^{2}+1 / 2^{2}+1 / 2^{3}+1 / 2^{3}+\cdots converge mas se tem a_{n+1} / a_{n}=1 para todo n ímpar.
Passo 1
O enunciado pede duas provas de divergência de séries pelo teste da raiz e pelo teste da razão, e depois um contra‐exemplo que mostra que a condição \left|a_{n+1}/a_n\right|\ge1 em alguns índices não impede convergência. Vamos usar o fato fundamental de que, para uma série \sum a_n convergir, é necessário que a_n\to0.
Passo 2
Suponha que exista uma infinidade de índices n tais que
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|}\ge1.
Então, para esses n, temos \bigl|a_n\bigr|\ge1^n=1. Logo \bigl|a_n\bigr|\not\to0, pois há termos com módulo pelo menos igual a 1 para infinitos n. Como condição necessária para convergência é a_n\to0, concluímos que \sum a_n diverge.
Passo 3
Agora suponha que a_n\neq0 para todo n e que exista n_0 tal que, para todo n>n_0,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge1.
Isso implica \bigl|a_{n+1}\bigr|\ge\bigl|a_n\bigr| sempre que n>n_0. Por recorrência, para todo n>n_0,
\bigl|a_n\bigr|\ge\bigl|a_{n_0+1}\bigr|>0.
Portanto \bigl|a_n\bigr| não tende a zero (fica sempre acima de uma constante positiva), e logo \sum a_n diverge.
Passo 4
Para ver que a recíproca não vale, considere a série em que agrupamos dois termos de mesmo valor:
Então em todos os índices ímpares \bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=1, mostrando que a condição \left|a_{n+1}/a_n\right|\ge1 em muitos n não impede convergência.
Resposta
As duas provas de divergência foram apresentadas nos passos 2 e 3, e o contra‐exemplo de série convergente com \bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=1 para n ímpar foi dado no passo 4.