\lim_{x \rightarrow 5} \ln \frac{x+1}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to5}\ln\frac{x+1}{x-5}.
Aqui vamos usar o fato de que o logaritmo natural \ln t só está definido para t>0, então primeiro precisamos analisar o domínio da função interna \frac{x+1}{x-5} e depois estudar o comportamento quando x se aproxima de 5.

Passo 2

Determinar o domínio de
\ln\frac{x+1}{x-5}
exige
\frac{x+1}{x-5}>0.
Isso ocorre se numerador e denominador têm o mesmo sinal:
caso 1: x+1>0 e x-5>0 \implies x>5,
caso 2: x+1<0 e x-5<0 \implies x<-1.
Logo o domínio real é
(-\infty,-1)\cup(5,\infty).

Passo 3

Como 5 é ponto de fronteira do domínio, só faz sentido aproximar x\to5 pelo lado direito, x\to5^+. Nesse caso
x+1\to6 \quad\text{e}\quad x-5\to0^+,
logo
\frac{x+1}{x-5}\to\frac{6}{0^+}=+\infty.

Passo 4

Como \ln t\to+\infty quando t\to+\infty, concluímos que ao aproximar x\to5^+
\ln\frac{x+1}{x-5}\to+\infty.

Resposta

+\infty

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