Explique o significado físico da densidade de probabilidade |psi(x)|^2. Por que ela não pode ser negativa?

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente explicar o que é a densidade de probabilidade
|psi(x)|^2
e dizer por que ela não pode ser negativa. Isso faz parte de Mecânica Quântica, mais especificamente da interpretação de Born do estado quântico.
O que vamos precisar:
- Entender o que é a função de onda psi(x);
- Saber o que Born falou sobre usar |psi|^2 como probabilidade;
- Ver por que todo número do tipo “módulo ao quadrado” não pode ser negativo.

Passo 2

Primeiro, o que é psi(x)?
Em QM, a função de onda psi(x) descreve o estado do sistema (por exemplo, a partícula) no ponto x. Ela, em geral, é uma função complexa.
Born sugeriu que, embora psi(x) possa ser complexa e até ter partes negativas ou imaginárias, a coisa física que importa é
|psi(x)|^2 = psi^*(x),psi(x),
Isso é a densidade de probabilidade de achar a partícula por volta de x. Ou seja, a chance de encontrar a partícula num pedacinho de espaço [x, x + dx] é
P(xto x+dx)=|psi(x)|^2,dx,

Passo 3

Agora, se |psi(x)|^2 é densidade de probabilidade, ela tem que satisfazer duas propriedades clássicas de probabilidade:
  1. Deve ser integrável em todo o espaço e somar 1: integral-infty^+infty|psi(x)|^2,dx = 1,,
    para garantir que “em algum lugar a partícula aparece com certeza”.
    2) Cada pedaço de probabilidade é um número real entre 0 e 1.

Passo 4

Por que |psi(x)|^2 não pode ser negativo?
  • Matemática pura: se psi(x)=a+ib, então |psi(x)|^2=a^2+b^2>= 0,
    Sempre cai zero ou positivo, nunca negativo.
    - Física: probabilidade negativa não faz sentido (não existe “-30% de chance” de algo acontecer).

Resposta

A densidade de probabilidade |psi(x)|^2 indica a chance de encontrar a partícula em volta da posição x (via P(xto x+dx)=|psi(x)|^2dx), e ela não pode ser negativa porque é um módulo ao quadrado ( a^2+b^2) – sempre dá um número real maior ou igual a zero, como uma probabilidade deve ser.

Exercícios relacionados