Por que a função de onda psi(x) pode ser complexa, mas a densidade de probabilidade |psi(x)|^2 sempre é real?

Passo 1

Beleza, o enunciado está perguntando por que a função de onda pode ser um número complexo, mas a densidade de probabilidade sai sempre real. Isso é ideia de Mecânica Quântica: a gente precisa entender números complexos, conjugado complexo e a definição de densidade de probabilidade como módulo ao quadrado da função de onda.

Passo 2

Primeiro, por que psi(x) = a(x) + i,b(x) pode ser complexa?
  1. As equações de Schrödinger usam , então naturalmente a solução vem em geral na forma onde e são partes real e imaginária.
  2. Essa “parte imaginária” é fundamental pra descrever interferência quântica, fases etc.

Passo 3

Agora, bora ver o que é densidade de probabilidade. Por definição em QM:
rho(x) = |psi(x)|^2 = psi^*(x),psi(x)
Aqui é o conjugado complexo, ou seja, se , então .

Passo 4

Vamos multiplicar psi^*,psi = (a - ib),(a + ib) = a^2 + b^2 pelo seu conjugado:
Repara que é um número real (e ). Não sobra parte imaginária nenhuma.

Resposta

A função de onda |psi(x)|^2 = psi^*(x),psi(x) = a^2(x) + b^2(x), pode ser complexa porque a mecânica quântica envolve fases e nas equações. Mas a densidade de probabilidade é
que é sempre real (e não-negativa), garantindo uma interpretação de probabilidade válida.

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