Explique o significado da integral definida
. Inclua em sua resposta:
- A ideia geométrica por trás da integral definida;
- A relação entre integral e área sob a curva;
- O papel do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a integral definida
significa. Esse exercício está relacionado ao cálculo integral, que é uma parte da matemática que lida com somas infinitesimais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral definida, como ela se relaciona com áreas sob curvas e conhecermos o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a ideia geométrica por trás da integral definida. Imagine que você tem um gráfico de uma função
entre dois pontos
e
no eixo
. A integral definida
nos dá a área entre a curva da função, o eixo
, e as linhas verticais
e
. Essa área pode ser positiva, negativa ou zero, dependendo de onde a função está em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos explorar a relação entre a integral e a área sob a curva. Quando calculamos
, estamos essencialmente somando infinitas retas verticais (chamadas de retângulos infinitesimais) que se estendem de
até o eixo
no intervalo de
a
. Isso nos dá uma aproximação da área sob a curva. Quanto mais pequenos forem esses retângulos, mais precisa será a aproximação, chegando exatamente à área quando consideramos infinitamente pequenos.
Passo 4
Por último, vamos entender o papel do Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a derivada com a integral. Ele nos diz que se
é uma antiderivada de
(ou seja,
), então a integral definida de
de
a
pode ser calculada como:
Isso significa que, para encontrar a integral definida, basta encontrar uma antiderivada de
e calcular a diferença entre os valores dessa antiderivada nos pontos
e
. Essa relação facilita muito o cálculo de áreas sob curvas.
Resposta
A integral definida
representa a área entre a curva da função
, o eixo
e as linhas verticais
e
. Ela é calculada somando infinitos retângulos infinitesimais sob a curva, e o Teorema Fundamental do Cálculo nos permite encontrar essa área usando antiderivadas, sendo igual a
onde
é uma antiderivada de
.