Seja X uma variável aleatória contínua.
Se X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), encontre um número real r tal que P(\mu-r \sigma \leq X \leq \mu+r \sigma)=0,95.

Passo 1

O enunciado diz que X é contínua com distribuição normal N(\mu,\sigma^{2}) e pede um número real r tal que
P(\mu - r\sigma \le X \le \mu + r\sigma) = 0,95.
Para resolver isso vamos usar padronização da normal e tabela (ou inversa) da normal padrão.

Passo 2

Padronizamos X definindo
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
que satisfaz Z\sim N(0,1). Então
P(\mu - r\sigma \le X \le \mu + r\sigma) = P\bigl(-r \le Z \le r\bigr).

Passo 3

Pela simetria da normal padrão,
P(-r \le Z \le r) = P(|Z|\le r) = 2\,\Phi(r) - 1,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada de N(0,1). Queremos
2\,\Phi(r) - 1 = 0,95.

Passo 4

Resolvendo para \Phi(r):
\Phi(r) = \frac{0,95 + 1}{2} = 0,975.
Logo
r = \Phi^{-1}(0,975) \approx 1,96.

Resposta

r = \Phi^{-1}(0,975) \approx 1,96

Exercícios relacionados