Explique o que é o Teorema do Deslocamento, e depois o utilize para encontrar a Transformada inversa de Laplace para a função
Y(s) equiv ss^2+10 s+29

Passo 1

O enunciado pede para primeiro explicar o Teorema do Deslocamento e depois usar esse teorema para calcular a transformada inversa de Laplace de
Y(s)=ss^2+10s+29
O conteúdo envolve completar o quadrado, decompor a fração em termos de s+a e aplicar o Teorema do Deslocamento no domínio de s, além de usar transformadas padrão de cos e sin.

Passo 2

O Teorema do Deslocamento (ou Translação) no domínio de s afirma que, se
Lf(t)=F(s),
então
L^-1F(s-a)=e^a t,f(t)
Além disso, da tabela básica temos
Lcos(bt)=ss^2+b^2, Lsin(bt)=bs^2+b^2
Logo, se aparecer tfracs-a(s-a)^2+b^2 ou tfracb(s-a)^2+b^2, a inversa será e^a tcos(bt) ou e^a tsin(bt) respectivamente.

Passo 3

Vamos completar o quadrado no denominador:
s^2+10s+29 = (s+5)^2+29-25 = (s+5)^2+4 = (s+5)^2+2^2

Passo 4

Reescrevemos o numerador s como (s+5)-5 e separamos a fração:
Y(s) =(s+5)-5(s+5)^2+2^2 =s+5(s+5)^2+2^2 ;-;5(s+5)^2+2^2

Passo 5

Reconhecemos nas duas parcelas as formas padrão após deslocamento em s:
s+5(s+5)^2+2^2 ;long<=ftrightarrow; Le^-5tcos(2t),
2(s+5)^2+2^2 ;long<=ftrightarrow; Le^-5tsin(2t)
Portanto
5(s+5)^2+2^2 =52,2(s+5)^2+2^2 =52,Le^-5tsin(2t)

Passo 6

Pela linearidade da transformada inversa e usando o deslocamento, temos
L^-1Y(s) =L^-1ls+5(s+5)^2+2^2r -L^-1l5(s+5)^2+2^2r,
onde a primeira parcela gera e^-5tcos(2t) e a segunda gera tfrac52e^-5tsin(2t).

Resposta

y(t)=e^-5tcos(2t);-;52e^-5tsin(2t)

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