Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
dotx+3 xt=t^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
dotx + 3t,x = t^2
O conteúdo aqui é EDO linear: vamos identificar p(t) e g(t) e usar fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
dotx + p(t),x = g(t)
onde p(t)=tfrac3t e g(t)=t^2.
O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral p(t),dtr) = exp!l(integral tfrac3t,dtr) = exp(3ln|t|) = t^3

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(t)=t^3:
t^3dotx + 3,t^2 x = t^5
O lado esquerdo é exatamente a derivada de t^3x, pois
ddt(t^3x) = t^3dotx + 3,t^2x

Passo 4

Portanto a equação vira
ddt(t^3x) = t^5
Integramos ambos os lados em t:
t^3x = integral t^5,dt = t^66 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para obter x(t), basta isolar:
x(t) = 1t^3l(t^66 + Cr) = t^36 + C,t^-3

Resposta

x(t) = t^36 + C,t^-3

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