Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
x y^prime=x^4-5 y

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x,y' ;=; x^4 ;-;5,y
que é linear de primeira ordem em y(x). Para resolver, vamos escrevê-la na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação original por x (supondo xneq0), obtemos
y' + 5x,y = x^3
Aqui P(x)=5/x e Q(x)=x^3.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral 5x,dxr) = exp(5ln|x|) = x^5

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^5
x^5,y' + 5x^4,y = x^8,
ou seja
ddxl(x^5,yr) = x^8
Integrando ambos os lados em relação a x,
x^5,y = integral x^8,dx = x^99 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y,
y(x) = x^99,x^5 + C,x^-5 = x^49 + C,x^-5,
válido para xneq0.

Resposta

y(x) = x^49 + C,x^-5

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