Mostre como os sinais convencionais implicam sempre em \mathrm{p}^{\prime}<0, garantindo a virtualidade da imagem.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Explicar por que um espelho esférico convexo sempre forma imagens virtuais, direitas (não invertidas) e menores que o objeto.
Considerar a divergência dos raios refletidos, a construção geométrica com prolongamentos, a relação entre foco virtual e centro de curvatura virtual e usar a equação de Gauss
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}
Mostrar como as convenções de sinais levam necessariamente a \,p'<0, o que garante a virtualidade da imagem.
Informações e peças dadas (resumidas):
Temos um espelho esférico convexo (superfície refletora voltada para o observador, curvatura para trás).
A equação de Gauss acima vale para espelhos esféricos.
Devemos usar convenções de sinais físicas (distâncias medidas a partir do vértice/polo do espelho, com sinais apropriados) para concluir sobre o sinal de \,p'.
Passo 2
Entendendo fisicamente o comportamento dos raios (divergência e prolongamentos)
Imagine raios de luz vindos de um ponto-objeto na frente do espelho (lado de onde vêm os raios). Ao atingirem a superfície convexo-esférica, cada raio é refletido segundo a lei da reflexão (ângulo de incidência = ângulo de reflexão). Por causa da curvatura que “olha” para trás, os raios refletidos saem divergindo — isto é, eles se espalham, não convergem para um ponto no espaço na frente do espelho.
Mesmo que os raios refletidos divergentes nunca se cruzem do lado de quem olha, se você prolongar geometricamente esses raios refletidos para trás do espelho (ou seja, estender as retas dos raios refletidos atrás da superfície), esses prolongamentos interceptam-se em um ponto atrás do espelho. Esse ponto de interseção é onde parece estar a imagem: é uma imagem formada pelas extensões dos raios, portanto é virtual (não se pode projetá-la numa tela colocada na frente do espelho).
Exemplo concreto mental: raios paralelos ao eixo principal, vindo da esquerda, ao refletirem num convexo saem divergentes como se tivessem saído de um ponto F atrás do espelho. Logo, F é um foco virtual.
Passo 3
Centro de curvatura e foco no caso convexo — por que são “virtuais”
Para uma superfície esférica, o centro de curvatura C é o centro da esfera que gerou a superfície refletora. No espelho convexo esse centro fica por trás do espelho, isto é, no mesmo lado dos prolongamentos dos raios refletidos. Da mesma forma o foco F (ponto onde raios paralelos parecem divergir) também fica por trás do espelho.
A relação geométrica usual entre foco e raio é
f=\frac{R}{2},
onde R é o raio de curvatura (distância do vértice ao centro C). Para espelho convexo C está atrás do espelho e, segundo a convenção de sinais que vamos usar, R<0. Logo f<0. Dizer f<0 significa que o foco é virtual (está situado no lado oposto ao qual os raios incidentes chegam).
Passo 4
Definindo claramente a convenção de sinais usada (essencial para provar algebraicamente)
Usaremos a convenção padrão para espelhos esféricos (convenção dos sinais retilínea comum em ótica geométrica):
Distância do objeto ao vértice do espelho: \,p. Se o objeto está no lado de onde vem a luz (lado “à frente” do espelho), então \,p>0. (Isso é o caso usual: objeto real em frente ao espelho.)
Distância da imagem ao vértice: \,p'. Se a imagem está no mesmo lado do objeto (isto é, na frente do espelho) é imagem real e \,p'>0. Se a imagem está atrás do espelho (formada pelos prolongamentos) então \,p'<0 — imagem virtual.
Raio de curvatura \,R: positivo se o centro C está no mesmo lado do objeto (concavo), negativo se C está do outro lado (convexo). Para espelho convexo temos \,R<0.
Foco \,f: definido por \,f=R/2. Assim, para espelho convexo \,f<0.
Nota pedagógica: estas escolhas de sinal são feitas para que a mesma fórmula de Gauss funcione tanto para espelhos côncavos quanto convexos; o sinal dos parâmetros carrega a informação física (onde está cada ponto).
Passo 5
Álgebra com a equação de Gauss: provar que \,p'<0
Partimos de
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}.
Isolando 1/p':
\frac{1}{p'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}.
Agora aplique os sinais físicos para espelho convexo:
O objeto real está em frente ao espelho, então \,p>0.
O foco do convexo está atrás do espelho, então \,f<0.
Como \,f<0, temos \,1/f<0. Como \,p>0, temos \,1/p>0. Portanto
Para espelho convexo f<0 e p>0. O denominador p-f=p- (negativo)=p+|f|>0. O numerador fp é negativo (produto de f<0 por p>0). Então p'<0. Mesma conclusão.
Passo 6
Mostrando que a imagem é menor e direita (não invertida) — fórmula da ampliação lateral
A ampliação lateral (magnificação) para espelhos é dada por
m=-\frac{p'}{p}.
Interpretação de sinais:
Se m<0 a imagem está invertida em relação ao objeto; se m>0 a imagem está direita (mesma orientação).
No nosso caso, já provamos \,p'<0 e sabemos \,p>0. Assim -p' é positivo e
m=-\frac{p'}{p}>0,
portanto a imagem é direita (não invertida).
Agora provar que a imagem é menor (amplitude absoluta <1). Use a forma p'=\dfrac{fp}{p-f} e considere módulos:
|p'|=\frac{|f|\,p}{p+|f|},
porque para convexo f=-|f| e p-f=p+|f|. Comparando |p'| com p:
já que |f|<p+|f|. Portanto |p'|<p, e a ampliação em módulo é
|m|=\frac{|p'|}{p}<1.
Conclusão: a imagem é reduzida (menor que o objeto).
Passo 7
Resumo geométrico final e interpretação física (ligando tudo)
Geometricamente: raios incidentes divergentes/refletidos divergentes — ao prolongarmos os raios refletidos para trás do espelho, eles parecem originar de um ponto único atrás do espelho (o foco virtual). Todas as construções (foco, centro C) estão atrás do espelho, por isso são virtuais.
Algebraicamente: a convenção de sinais dá f<0 e p>0. Substituindo em \frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'} obtemos p'<0. Logo a imagem está atrás do espelho (virtual).
Ampliação: com p'<0 temos m=-p'/p>0 (imagem direita) e |m|<1 (imagem menor).
Intuição rápida: espelho convexo “espalha” os raios; portanto o observador vê uma imagem que parece menor e localizada atrás da superfície — nunca se forma imagem real na frente do espelho.
Passo 8
Exemplo numérico ilustrativo (para fixar)
Suponha objeto a \,p=50\\ \text{cm} e raio de curvatura \,R=-20\\ \text{cm} (negativo porque convexo). Então
Imagem direita (porque m>0) e consideravelmente menor (|m|<1). Isso confirma a análise geral.
Resposta
\;p'<0 (imagem formada atrás do espelho, portanto virtual)
A imagem é direita (não invertida), pois m=-\dfrac{p'}{p}>0.
A imagem é menor que o objeto, pois |m|=\dfrac{|p'|}{p}<1.