Considere um espelho esférico côncavo com raio de curvatura R e foco F. Um objeto é colocado a uma distância maior que o centro de curvatura ( \mathrm{p}>\mathrm{R} ).
a) Explique, usando reflexão dos raios notáveis, onde se formará a imagem (posição e características).
b) Justifique o caráter real, invertido e reduzido da imagem com base na propagação dos raios paralelos ao eixo, no raio que passa pelo foco e no raio que incide pelo centro de curvatura.
c) Mostre que, nessa configuração, a relação \mathrm{p}^{\prime}<\mathrm{f} não pode ocorrer.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Temos um espelho esférico côncavo cujo raio de curvatura é R. O foco do espelho é o ponto F.
  • Um objeto está colocado sobre o eixo óptico a uma distância p do vértice do espelho e foi dado que p>R.
  • Perguntas:
    a) Usando os raios notáveis, explicar onde se formará a imagem (posição) e quais são suas características (real/virtual, direita/invertida, aumentada/reduzida).
    b) Justificar o caráter real, invertido e reduzido usando os três raios notáveis: (i) raio paralelo ao eixo, (ii) raio que passa pelo foco, (iii) raio que incide passando pelo centro de curvatura.
    c) Mostrar que, nessa configuração ( p>R), não pode ocorrer \,p'<f, (isto é, provar que a imagem não pode ficar mais próxima do espelho que o foco).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Foco e raio de curvatura: para um espelho esférico côncavo o foco está no meio do centro de curvatura; portanto
f=\frac{R}{2}.
Aqui R é a distância do vértice do espelho ao centro de curvatura C e f é a distância do vértice ao foco F.
  • Equação dos espelhos (fórmula usada para relacionar distâncias objeto/imagem/foco):
\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=\frac{1}{f}.
Expliquei cada símbolo: p é a distância do objeto ao vértice do espelho, p' é a distância da imagem ao vértice (ambas medidas ao longo do eixo), e f é a distância focal. Esta fórmula vale para os casos de paraxial (pequenos ângulos), que é o caso usual em problemas simples de óptica geométrica.
  • Ampliação (ou aumento linear) e seu significado:
m=\frac{h'}{h}=-\frac{p'}{p},
onde h é a altura do objeto e h' a altura da imagem. O sinal “ -” indica que se m for negativo a imagem está invertida verticalmente em relação ao objeto; se |m|<1 a imagem é reduzida, se |m|>1 é aumentada. Vou usar essa fórmula para concluir sobre invertida/reduzida.

Passo 3

Raios notáveis (o que são e como se comportam) — aqui eu explico cada um devagar, como se nós desenhássemos o raio no papel:
  • Raio 1 (raio paralelo ao eixo): qualquer raio que saia do objeto e seja paralelo ao eixo principal do espelho, ao atingir o espelho se reflete passando pelo foco F. Regra prática: “paralelo → passa pelo foco depois da reflexão”.
  • Raio 2 (raio que passa pelo foco): qualquer raio que vá do objeto passando por F incide no espelho e se reflete saindo paralelo ao eixo. Regra prática: “pelo foco → reflete paralelo”.
  • Raio 3 (raio que passa pelo centro): um raio que passa pelo centro de curvatura C incide radialmente (normal à superfície local) e, por isso, reflete sobre si mesmo, voltando pelo mesmo caminho. Regra prática: “pelo centro → volta sobre si”.
Esses três raios são suficientes para localizar a imagem: o ponto onde duas (ou mais) destas imagens refletidas se cruzarem é a posição do topo da imagem.

Passo 4

Construção por raios e localização qualitativa da imagem (passo a passo geométrico intuitivo):
  • Imagine o objeto acima do eixo, colocado em p>R (ou seja, além do centro C). Do topo do objeto traçamos os três raios notáveis:
    1. Um raio que sai paralelo ao eixo — após refletir, passa por F.
    2. Um raio que sai passando por F — após refletir, sai paralelo ao eixo.
    3. Um raio que sai em direção a C — ao atingir a superfície, reflete e volta pelo mesmo caminho.
  • Agora observe onde os raios refletidos se cruzam: o raio refletido do tipo (1) passa por F e vai “cair” entre F e C; o raio refletido do tipo (3) vem retornando quase na direção do objeto e cruza o raio que passou por F em um ponto que fica entre F e C. Portanto, a interseção das duas reflexões está no espaço à frente do espelho, entre o foco e o centro de curvatura.
  • Conclusão qualitativa: os raios realmente convergem em um ponto real à frente do espelho (lado dos objetos), formando uma imagem real (porque os raios refletem e realmente se encontram), e essa imagem aparece invertida (pois o raio que vinha de cima cruza o eixo e se encontra abaixo) e parece menor que o objeto (porque a interseção ocorre mais perto do eixo do que o topo do objeto original).

Passo 5

Localização quantitativa usando a equação dos espelhos — provar onde p' fica:
Partimos da fórmula
\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=\frac{1}{f}.
Isolando 1/p':
\frac{1}{p'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}=\frac{p-f}{fp}.
Logo
p'=\frac{fp}{p-f}.
Agora usamos a hipótese p>R e a relação f=\dfrac{R}{2}. Como p>R=2f, temos p>2f. Vamos obter limites para p':
  • Mostrar que p'<R=2f:
    \text{como } \frac{1}{p} < \frac{1}{2f}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{p'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p} > \frac{1}{f}-\frac{1}{2f}=\frac{1}{2f}.
    Portanto \dfrac{1}{p'}>\dfrac{1}{2f}, o que implica p'<2f=R.
  • Mostrar que p'>f:
    \frac{1}{p'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}<\frac{1}{f}\quad\Rightarrow\quad p'>f.
Combinando,
f < p' < R.
Isto confirma quantitativamente a conclusão qualitativa: a imagem forma-se entre F e C.

Passo 6

Propriedades: real, invertida e reduzida — justificativa com fórmulas e com os três raios
  • Real: já vimos que os raios refletidos se cruzam em frente ao espelho; além disso a equação mostrou p'>0 e p'>f, logo a imagem está no espaço físico em frente ao espelho, portanto é uma imagem real (pode ser projetada em uma tela).
  • Invertida: a fórmula da ampliação nos dá
    m=-\frac{p'}{p}.
    Como p'>0 e p>0, temos m<0. O sinal negativo significa que a imagem é invertida em relação ao objeto (o topo do objeto fica abaixo do eixo).
    Física pelo traçado de raios: o raio vindo do topo que passa pelo foco sai refletido paralelo e o raio que passa por C volta sobre si; essas reflexões cruzam o eixo entre F e C, trocando a posição vertical do ponto — daí a inversão.
  • Reduzida: comparar p' com p. Usando a expressão p'=\dfrac{fp}{p-f} verificamos
    p' < p \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{fp}{p-f}<p \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{f}{p-f}<1.
    A última desigualdade é equivalente a f<p-f, isto é 2f<p. Mas como p>R e R=2f, temos p>2f e a condição é satisfeita. Logo p'<p e, portanto, |m|=\dfrac{p'}{p}<1: a imagem é reduzida.
    Intuição com raios: a interseção das reflexões ocorre mais próxima ao vértice que o objeto (porque o objeto está além de C), então a imagem fica menor.

Passo 7

Mostrar que \,p'<f é impossível sob p>R (prova por contradição usando a equação dos espelhos):
  • Suponha, para obter contradição, que p'<f. Então 1/p'>1/f. Da equação dos espelhos
\frac{1}{p}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p'}.
Se 1/p'>1/f então \dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{p'}<0, ou seja \dfrac{1}{p}<0. Mas isso é impossível porque p é uma distância positiva e portanto \dfrac{1}{p}>0. Logo nossa suposição leva a uma contradição.
  • Portanto não existe p' tal que p'<f quando p é uma distância positiva; no caso específico p>R (que garante p>2f) temos já mostrado que f<p'<R. Assim \,p'<f não pode ocorrer.

Resposta

a) A imagem forma-se entre F e C, ou seja f<p'<R; é uma imagem real, invertida e reduzida.
b) Real porque os raios refletidos realmente se cruzam em frente ao espelho; invertida porque a ampliação m=-\dfrac{p'}{p} é negativa; reduzida porque p'<p (já que p>R=2f implica p'=\dfrac{fp}{p-f}<p), e essas conclusões são visíveis traçando os três raios notáveis (paralelo→foco, foco→paralelo, centro→volta).
c) Impossível: supondo p'<f a equação \dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{p'} daria \dfrac{1}{p}<0, contradizendo p>0; portanto não pode ocorrer p'<f.

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