Considere um espelho esférico côncavo com raio de curvatura
e foco
. Um objeto é colocado a uma distância maior que o centro de curvatura (
).
a) Explique, usando reflexão dos raios notáveis, onde se formará a imagem (posição e características).
b) Justifique o caráter real, invertido e reduzido da imagem com base na propagação dos raios paralelos ao eixo, no raio que passa pelo foco e no raio que incide pelo centro de curvatura.
c) Mostre que, nessa configuração, a relação
não pode ocorrer.
a) Explique, usando reflexão dos raios notáveis, onde se formará a imagem (posição e características).
b) Justifique o caráter real, invertido e reduzido da imagem com base na propagação dos raios paralelos ao eixo, no raio que passa pelo foco e no raio que incide pelo centro de curvatura.
c) Mostre que, nessa configuração, a relação
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
- Temos um espelho esférico côncavo cujo raio de curvatura é
. O foco do espelho é o ponto . - Um objeto está colocado sobre o eixo óptico a uma distância
do vértice do espelho e foi dado que . - Perguntas:
a) Usando os raios notáveis, explicar onde se formará a imagem (posição) e quais são suas características (real/virtual, direita/invertida, aumentada/reduzida).
b) Justificar o caráter real, invertido e reduzido usando os três raios notáveis: (i) raio paralelo ao eixo, (ii) raio que passa pelo foco, (iii) raio que incide passando pelo centro de curvatura.
c) Mostrar que, nessa configuração (), não pode ocorrer , (isto é, provar que a imagem não pode ficar mais próxima do espelho que o foco).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- Foco e raio de curvatura: para um espelho esférico côncavo o foco está no meio do centro de curvatura; portanto
Aqui
é a distância do vértice do espelho ao centro de curvatura
e
é a distância do vértice ao foco
.
- Equação dos espelhos (fórmula usada para relacionar distâncias objeto/imagem/foco):
Expliquei cada símbolo:
é a distância do objeto ao vértice do espelho,
é a distância da imagem ao vértice (ambas medidas ao longo do eixo), e
é a distância focal. Esta fórmula vale para os casos de paraxial (pequenos ângulos), que é o caso usual em problemas simples de óptica geométrica.
- Ampliação (ou aumento linear) e seu significado:
onde
é a altura do objeto e
a altura da imagem. O sinal “
” indica que se
for negativo a imagem está invertida verticalmente em relação ao objeto; se
a imagem é reduzida, se
é aumentada. Vou usar essa fórmula para concluir sobre invertida/reduzida.
Passo 3
Raios notáveis (o que são e como se comportam) — aqui eu explico cada um devagar, como se nós desenhássemos o raio no papel:
-
Raio 1 (raio paralelo ao eixo): qualquer raio que saia do objeto e seja paralelo ao eixo principal do espelho, ao atingir o espelho se reflete passando pelo foco
. Regra prática: “paralelo → passa pelo foco depois da reflexão”. -
Raio 2 (raio que passa pelo foco): qualquer raio que vá do objeto passando por
incide no espelho e se reflete saindo paralelo ao eixo. Regra prática: “pelo foco → reflete paralelo”. -
Raio 3 (raio que passa pelo centro): um raio que passa pelo centro de curvatura
incide radialmente (normal à superfície local) e, por isso, reflete sobre si mesmo, voltando pelo mesmo caminho. Regra prática: “pelo centro → volta sobre si”.
Esses três raios são suficientes para localizar a imagem: o ponto onde duas (ou mais) destas imagens refletidas se cruzarem é a posição do topo da imagem.
Passo 4
Construção por raios e localização qualitativa da imagem (passo a passo geométrico intuitivo):
-
Imagine o objeto acima do eixo, colocado em
(ou seja, além do centro ). Do topo do objeto traçamos os três raios notáveis: - Um raio que sai paralelo ao eixo — após refletir, passa por
. - Um raio que sai passando por
— após refletir, sai paralelo ao eixo. - Um raio que sai em direção a
— ao atingir a superfície, reflete e volta pelo mesmo caminho.
- Um raio que sai paralelo ao eixo — após refletir, passa por
-
Agora observe onde os raios refletidos se cruzam: o raio refletido do tipo (1) passa por
e vai “cair” entre e ; o raio refletido do tipo (3) vem retornando quase na direção do objeto e cruza o raio que passou por em um ponto que fica entre e . Portanto, a interseção das duas reflexões está no espaço à frente do espelho, entre o foco e o centro de curvatura. -
Conclusão qualitativa: os raios realmente convergem em um ponto real à frente do espelho (lado dos objetos), formando uma imagem real (porque os raios refletem e realmente se encontram), e essa imagem aparece invertida (pois o raio que vinha de cima cruza o eixo e se encontra abaixo) e parece menor que o objeto (porque a interseção ocorre mais perto do eixo do que o topo do objeto original).
Passo 5
Localização quantitativa usando a equação dos espelhos — provar onde
fica:
Partimos da fórmula
Isolando
:
Logo
Agora usamos a hipótese
e a relação
. Como
, temos
. Vamos obter limites para
:
-
Mostrar que
: Portanto, o que implica . -
Mostrar que
:
Combinando,
Isto confirma quantitativamente a conclusão qualitativa: a imagem forma-se entre
e
.
Passo 6
Propriedades: real, invertida e reduzida — justificativa com fórmulas e com os três raios
-
Real: já vimos que os raios refletidos se cruzam em frente ao espelho; além disso a equação mostrou
e , logo a imagem está no espaço físico em frente ao espelho, portanto é uma imagem real (pode ser projetada em uma tela). -
Invertida: a fórmula da ampliação nos dáComo
e , temos . O sinal negativo significa que a imagem é invertida em relação ao objeto (o topo do objeto fica abaixo do eixo). Física pelo traçado de raios: o raio vindo do topo que passa pelo foco sai refletido paralelo e o raio que passa porvolta sobre si; essas reflexões cruzam o eixo entre e , trocando a posição vertical do ponto — daí a inversão. -
Reduzida: comparar
com . Usando a expressão verificamos A última desigualdade é equivalente a, isto é . Mas como e , temos e a condição é satisfeita. Logo e, portanto, : a imagem é reduzida. Intuição com raios: a interseção das reflexões ocorre mais próxima ao vértice que o objeto (porque o objeto está além de), então a imagem fica menor.
Passo 7
Mostrar que
é impossível sob
(prova por contradição usando a equação dos espelhos):
- Suponha, para obter contradição, que
. Então . Da equação dos espelhos
Se
então
, ou seja
. Mas isso é impossível porque
é uma distância positiva e portanto
. Logo nossa suposição leva a uma contradição.
- Portanto não existe
tal que quando é uma distância positiva; no caso específico (que garante ) temos já mostrado que . Assim não pode ocorrer.
Resposta
a) A imagem forma-se entre
e
, ou seja
; é uma imagem real, invertida e reduzida.
b) Real porque os raios refletidos realmente se cruzam em frente ao espelho; invertida porque a ampliação é negativa; reduzida porque
(já que
implica
), e essas conclusões são visíveis traçando os três raios notáveis (paralelo→foco, foco→paralelo, centro→volta).
c) Impossível: supondo a equação
daria
, contradizendo
; portanto não pode ocorrer
.
b) Real porque os raios refletidos realmente se cruzam em frente ao espelho; invertida porque a ampliação
c) Impossível: supondo