Explique teoricamente e graficamente como é determinado o equilíbrio no mercado de câmbio, utilizando-se da condição de paridade dos juros.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar, de forma teórica e gráfica, como se determina o equilíbrio no mercado de câmbio usando a condição de paridade dos juros.
Informações / elementos que temos que usar (lista de dados conceituais que vamos precisar):
  • A taxa de câmbio à vista (spot) S_t, que vou definir como o preço em moeda doméstica de uma unidade de moeda estrangeira (ex.: S_t = reais por dólar).
  • A taxa de câmbio a termo (forward) F_t para vencimento t+1.
  • A expectativa do valor futuro da taxa de câmbio \mathbb{E}[S_{t+1}] e a variação esperada percentual \mathbb{E}[\Delta s_{t+1}] = \dfrac{\mathbb{E}[S_{t+1}]-S_t}{S_t}.
  • A taxa de juros doméstica i e a taxa de juros estrangeira i^* (ambas para o mesmo horizonte, ex.: um ano).
  • A condição de paridade coberta dos juros (CIP) e a condição de paridade descoberta dos juros (UIP) — são as duas fórmulas-chave que determinam arbitragem e expectativas no mercado de câmbio.
  • Pressupostos que usaremos: mobilidade de capitais (investidores podem mover fundos livremente), ausência de custos de transação (ou muito pequenos) e, para a UIP pura, neutralidade ao risco (ou então entraremos com um prêmio de risco).
Não vou resolver nada neste passo; apenas listei o que o problema pede e os ingredientes que vamos usar.

Passo 2

Definições claras e interpretação das variáveis — aula rápida e essencial:
  • S_t: spot no momento t. Se S_t aumenta, a moeda doméstica está se desvalorizando (pois preciso de mais unidades domésticas para comprar 1 unidade estrangeira).
  • F_t: forward negociado em t para entrega em t+1. É o preço que garante hoje a troca futura sem risco cambial (coberto).
  • i: taxa de juros nominal doméstica entre t e t+1. Ex.: se i=0{,}05 significa 5% ao ano.
  • i^*: taxa de juros nominal estrangeira no mesmo horizonte.
  • \mathbb{E}[S_{t+1}]: expectativa racional (ou dada) do spot no futuro; pode vir de informações de mercado.
  • \mathbb{E}[\Delta s_{t+1}] = \dfrac{\mathbb{E}[S_{t+1}]-S_t}{S_t}: variação percentual esperada da taxa de câmbio.
Por que essas variáveis importam? Porque investidores com capital disponível escolhem entre aplicar em ativos domésticos ou estrangeiros. A paridade dos juros é a condição que garante que, ajustando-se por variação da taxa de câmbio (esperada ou contratada via forward), os retornos esperados são iguais — caso contrário há arbitragem.

Passo 3

Paridade coberta dos juros (CIP) — fórmula, derivação e interpretação passo a passo:
  • Começo com um raciocínio de arbitragem coberta: posso investir 1 unidade da moeda doméstica em ativo doméstico e receber 1+i no fim do período. Ou posso converter para moeda estrangeira hoje a S_t, investir ao juro estrangeiro i^* e travar a conversão de volta usando o contrato forward F_t. Para que não exista lucro arbitrado, os retornos devem ser iguais. Escrevo a igualdade:
1 + i \;=\; (1 + i^*) \cdot \frac{F_t}{S_t}.
  • Explicação das parcelas: (1+i^*) é o fator de acumulação no exterior; \frac{F_t}{S_t} converte o produto em moeda doméstica (composição: converto hoje, aplico lá e volto pelo forward).
  • Rearranjo útil:
F_t \;=\; S_t \cdot \frac{1+i}{1+i^*}.
  • Para taxas pequenas (e para intuição rápida), usamos a aproximação (primeira ordem):
\frac{F_t - S_t}{S_t} \approx i - i^*,
onde \dfrac{F_t - S_t}{S_t} é o chamado prêmio (ou desconto) a termo sobre o spot. Interpretação: se i>i^*, então F_t>S_t (a moeda estrangeira tende a cotar mais caro a termo) — isso evita arbitragem coberta.

Passo 4

Como representar graficamente a CIP (instrução passo a passo para desenhar o gráfico e interpretar):
  • Eixos: no eixo horizontal coloco a diferença de juros \;i - i^*\;. No eixo vertical coloco o prêmio a termo \;\dfrac{F_t - S_t}{S_t} (ou seja, variação percentual entre forward e spot).
  • A condição CIP (na forma aproximada) é uma linha de 45 graus passando pela origem, porque ela diz que o prêmio a termo deve igualar a diferença de juros:
\frac{F_t - S_t}{S_t} = i - i^*.
  • Interpretação gráfica: qualquer ponto fora da linha implica arbitragem coberta disponível. Se o ponto de mercado estiver acima da linha, o prêmio a termo é maior do que o diferencial de juros — operadores cobertos vão arbitragear vendendo/ comprando ativos até que F_t ajuste e o ponto volte para a linha. Resultado: em regime com liberdade de arbitragem, o mercado força o ponto para a linha de 45° — essa é a “curva de equilíbrio” do mercado forward sob CIP.

Passo 5

Paridade descoberta dos juros (UIP) — teoria, fórmula e interpretação detalhada:
  • UIP relaciona o diferencial de juros com a variação esperada da taxa de câmbio quando investidores não cobrem o risco cambial (aplicação descoberta). A forma padrão é:
i - i^* = \mathbb{E}\!\left[\Delta s_{t+1}\right],
onde \mathbb{E}\!\left[\Delta s_{t+1}\right]=\dfrac{\mathbb{E}[S_{t+1}] - S_t}{S_t}.
  • Explicação: se a taxa doméstica i for maior que i^*, então, para que um investidor aceite aplicar no exterior sem hedge, a moeda doméstica tem de esperar se desvalorizar (ou seja, S subir) na porcentagem aproximada i-i^*; caso contrário, a aplicação doméstica daria retorno superior sem risco cambial.
  • Versão com prêmio de risco: na prática, o investidor exige um prêmio de risco \rho para segurar risco cambial, então a condição geral é
i - i^* = \mathbb{E}\!\left[\Delta s_{t+1}\right] + \rho.
Se \rho>0, a moeda estrangeira tem que prometer uma maior depreciação esperada (ou o diferencial de juros pode compensar o risco).

Passo 6

Como desenhar o gráfico para a UIP e interpretar o equilíbrio spot — passo a passo:
  • Eixos: no eixo horizontal coloco o diferencial de juros \;i - i^*\;. No eixo vertical coloco a depreciação esperada \;\mathbb{E}[\Delta s_{t+1}].
  • A relação UIP é outra linha de 45° pela origem:
\mathbb{E}[\Delta s_{t+1}] = i - i^*.
  • Interpretação: o equilíbrio “descoberto” no mercado de câmbio ocorre quando o retorno esperado (incluindo a variação esperada do câmbio) iguala o diferencial de juros. Se o mercado espera uma depreciação menor do que i-i^*, então aplicar no exterior oferece retorno maior e haverá fluxo de capital para o exterior; esse fluxo pressiona a taxa de câmbio à vista S_t até que \mathbb{E}[\Delta s_{t+1}] se ajuste (por mudança nas expectativas ou no próprio S_t) para restaurar a igualdade. Assim o ponto de equilíbrio no gráfico fica na linha de 45°.

Passo 7

Intuição dinâmica e mecanismos de ajuste (como o mercado encontra o equilíbrio):
  • No mercado forward (CIP): arbitradores cobertos imediatamente exploram qualquer desvio entre F_t e S_t\cdot\frac{1+i}{1+i^*}. Essas operações corrigem F_t (ou o diferencial de taxas implícito) praticamente sem atraso quando os mercados são líquidos. Resultado: CIP costuma estar muito próxima do verdadeiro valor nas moedas com mercados profundos.
  • No mercado à vista/expectativas (UIP): o ajuste passa por fluxos de capital e por atualização de expectativas. Se i sobe (mantido i^*), a linha de 45° (UIP) indica que \mathbb{E}[\Delta s] deve crescer — o mercado ajusta via apreciação/ depreciação esperada ou via mudança imediata no S_t. O processo pode envolver: alterações na cotação spot, intervenção do banco central (em regimes fixos), ou mudança nas expectativas \mathbb{E}[S_{t+1}].
  • Papel do prêmio de risco e fricções: se existe \rho, a linha de 45° desloca-se verticalmente: agora i-i^* - \rho = \mathbb{E}[\Delta s]. Isso explica por que UIP falha empiricamente às vezes — o mercado exige prêmio por risco, há controles de capital, etc.

Passo 8

Exemplo numérico completo e passo a passo (para fixar a técnica e você aplicar na prova):
  • Suponha S_t = 4{,}00 (reais por dólar), i = 0{,}12 (12% a.a.), i^* = 0{,}05 (5% a.a.).
  • Pela CIP exata:
F_t = S_t \cdot \frac{1+i}{1+i^*} = 4{,}00 \cdot \frac{1{,}12}{1{,}05}.
Calcule o numerador e denominador: \dfrac{1{,}12}{1{,}05} \approx 1{,}066666. Então
F_t \approx 4{,}00 \times 1{,}066666 = 4{,}266666 \approx 4{,}267.
Interpretação: o dólar a termo custa 4{,}267 reais. O prêmio a termo percentual é
\frac{F_t - S_t}{S_t} = \frac{4{,}267 - 4{,}00}{4{,}00} = 0{,}06675 \approx 6{,}675\%,
que é aproximadamente i-i^* = 0{,}07 (7%) — diferença pequena devido à aproximação linear.
  • Pela UIP (se assumirmos neutralidade ao risco e expectativas racionais), o mercado exige que
\mathbb{E}[\Delta s_{t+1}] = i - i^* = 0{,}07.
Logo o mercado espera que o dólar se desvalorize (em termos de real) em cerca de 7% no próximo período, o que implica
\mathbb{E}[S_{t+1}] = S_t \cdot (1 + 0{,}07) = 4{,}00 \times 1{,}07 = 4{,}28.
Observe: F_t (4,267) está muito próximo de \mathbb{E}[S_{t+1}] (4,28) quando não há prêmio de risco — é por isso que forward é frequentemente usado como proxy da expectativa, salvo prêmio.

Passo 9

Resumo prático — como usar isso numa prova (checklist passo a passo para aplicar):
  • Identifique a convenção da taxa de câmbio (moeda doméstica por unidade estrangeira ou o inverso). Ajuste fórmulas conforme a convenção.
  • Use CIP quando o problema envolve contratos forward e arbitragem coberta: escreva 1+i=(1+i^*)\frac{F}{S} e resolva para F ou S.
  • Use UIP quando o problema envolve expectativas e o mercado à vista sem hedge: escreva i-i^*=\mathbb{E}[\Delta s] (ou inclua \rho se houver prêmio de risco).
  • Para gráficos: represente a relação no plano diferencial de juros × depreciação esperada (ou diferencial × prêmio a termo). A condição de paridade é uma linha de 45°; o equilíbrio é onde o ponto de mercado toca essa linha. Se o mercado estiver fora dela, surgem fluxos (ou arbitragem) que movem F ou S até restaurar a igualdade.
  • Interprete economicamente: taxa doméstica maior→investidores exigem depreciação esperada da moeda doméstica (ou forward mais alto) para aceitar aplicar no exterior; se isso não ocorrer, haverá saída/entrada de capitais que muda o câmbio.

Resposta

CIP: 1+i=(1+i^*)\frac{F_t}{S_t}\quad\Longrightarrow\quad F_t=S_t\cdot\frac{1+i}{1+i^*}\approx S_t(1+i-i^*)
UIP (sem prêmio de risco): i-i^*=\mathbb{E}[\Delta s_{t+1}]=\frac{\mathbb{E}[S_{t+1}]-S_t}{S_t}
Gráfico: representar no plano com eixo horizontal i-i^* e eixo vertical \mathbb{E}[\Delta s_{t+1}] (ou \tfrac{F_t-S_t}{S_t} para CIP); a paridade é uma linha de 45° e o equilíbrio ocorre onde o ponto de mercado coincide com essa linha. Se houver desvio, arbitragem (CIP) ou fluxos de capital/ajuste de expectativas (UIP) movem F_t ou S_t até restaurar a igualdade.

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