Explique, usando os Teoremas de continuidade por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
f(x)=x^2+raiz2 x-1

Passo 1

No enunciado temos a função f(x)=x^2+raiz2x-1 e o objetivo é mostrar que ela é contínua em todo ponto do seu domínio, usando teoremas de continuidade, além de determinar esse domínio.

Passo 2

Para determinar o domínio, basta exigir que o radicando da raiz seja não-negativo:
2x-1>=0
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x>=12
Portanto o domínio é
xinRmid x>=tfrac12 = l[tfrac12,inftyr)

Passo 3

Sabemos pelos teoremas básicos de continuidade que:
  1. A função polinomial xmapsto x^2 é contínua em todo R.
  2. A função linear xmapsto 2x-1 é contínua em todo R.
  3. A função raiz quadrada tmapsto raizt é contínua em [0,infty).

Passo 4

Como 2x-1 é contínua em R e raiz,cdot, é contínua em [0,infty), a composição
xmapsto raiz2x-1
é contínua em todos os x tais que 2x-1>=0, isto é, em l[tfrac12,inftyr). Finalmente, a soma de funções contínuas
x^2+raiz2x-1
é contínua em todo ponto onde ambas estão definidas, ou seja, em l[tfrac12,inftyr).

Resposta

O domínio de f é l[tfrac12,inftyr) e f é contínua em todo ponto desse intervalo.

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