1- Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação y^prime prime-y=0. O cosseno hiperbólico, cosh t , é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=0. O seno hiperbólico, senh t, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=1.
a) Resolva estes problemas de valor inicial para derivar fórmulas explícitas para o cosseno e o seno hiperbólicos.
b) Prove que uma solução geral da equação y^prime prime-y=0 é dada por y=c1 cosh t+c2 senh t.
c) Suponha que a, b e c sejam constantes para as quais a r^2+b r+c=0 tenha duas raizes reais distintas. Se as duas raizes forem expressas na forma alpha-beta e alpha+beta, mostre que uma solução geral da equação a y^prime prime+b y^prime+c y=0 é y=c1 e^a t cosh (beta t)+c2 e^a t senh(beta t).
d) Use o resultado da parte c) para resolver o problema de valor inicial: y^prime prime+y^prime-6 y=0, y(0)=2 e y^prime(0)=-17 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para usar a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y=0
para definir as funções hiperbólicas cosh t e sinh t por condições iniciais, depois mostrar que a solução geral de y''-y=0 pode ser escrita como combinação dessas funções, em seguida estender esse raciocínio ao caso geral
a,y''+b,y'+c,y=0
cuja equação característica tem raízes reais alphapmbeta, e por fim aplicar isso para resolver o IVP
y''+y'-6y=0, y(0)=2,;y'(0)=-tfrac172

Passo 2

Para obter fórmulas explícitas de cosh t e sinh t resolvemos
y''-y=0Longrightarrow r^2-1=0Longrightarrow r=pm1,
então a solução geral é
y(t)=A e^t + B e^-t
Para cosh t imponho y(0)=1 e y'(0)=0:
A+B=1, A-B=0;Longrightarrow;A=B=tfrac12
Logo
cosh t = e^t+e^-t2
Para sinh t imponho y(0)=0 e y'(0)=1:
A+B=0, A-B=1;Longrightarrow;A=tfrac12,;B=-tfrac12
Logo
sinh t = e^t-e^-t2

Passo 3

Como toda solução de y''-y=0 é A e^t+B e^-t, podemos escrever
A e^t+B e^-t =A+B2,(e^t+e^-t)+A-B2,(e^t-e^-t) =C1cosh t + C2sinh t,
com C1=(A+B)/2 e C2=(A-B)/2. Portanto
boxedy(t)=C1cosh t+C2sinh t
é a solução geral de y''-y=0.

Passo 4

Para a EDO geral
a,y''+b,y'+c,y=0
a equação característica é
a r^2+b r+c=0,
supondo raízes reais distintas r1=alpha+beta e r2=alpha-beta. A solução geral é
y(t)=D e^(alpha+beta)t+E e^(alpha-beta)t =e^alpha tl(D e^beta t+E e^-beta tr)
Como já vimos,
D e^beta t+E e^-beta t =C1cosh(beta t)+C2sinh(beta t),
logo a forma final é
boxedy(t)=e^alpha tl(C1cosh(beta t)+C2sinh(beta t)r)

Passo 5

Agora resolvemos
y''+y'-6y=0
pela parte (c). A equação característica é
r^2+r-6=0;Longrightarrow;r=2,,-3
Então alpha=(2+(-3))/2=-tfrac12 e beta=(2-(-3))/2=tfrac52, e a solução geral é
y(t)=e^-tfrac t2l(C1cosh(tfrac5t2)+C2sinh(tfrac5t2)r)
Impondo y(0)=2 e y'(0)=-tfrac172 obtemos
y(0)=C1=2,
e diferenciando por t e avaliando em 0
y'(0)=-tfrac12,C1+tfrac52C2=-1+tfrac52C2=-tfrac172 ;Longrightarrow; C2=-3
Logo a solução do IVP é
boxedy(t)=e^-tfrac t2l(2cosh(tfrac5t2)-3sinh(tfrac5t2)r),
que equivale a
y(t)=-tfrac12e^2t+tfrac52e^-3t

Resposta

a) cosh t=e^t+e^-t2,sinh t=e^t-e^-t2
b) y(t)=C1cosh t+C2sinh t
c) y(t)=e^alpha tl(C1cosh(beta t)+C2sinh(beta t)r).
d) y(t)=e^-tfrac t2l(2cosh(tfrac5t2)-3sinh(tfrac5t2)r).

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