1- Um modo de definir funções hiperbólicas é por meio de equações diferenciais. Considere a equação
. O cosseno hiperbólico, cosh t , é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais
e
. O seno hiperbólico, senh
, é definido como a solução dessa equação sujeita aos valores iniciais
e
.
a) Resolva estes problemas de valor inicial para derivar fórmulas explícitas para o cosseno e o seno hiperbólicos.
b) Prove que uma solução geral da equação
é dada por
.
c) Suponha que
e
sejam constantes para as quais
tenha duas raizes reais distintas. Se as duas raizes forem expressas na forma
e
, mostre que uma solução geral da equação
é
.
d) Use o resultado da parte c) para resolver o problema de valor inicial:
,
e
.
a) Resolva estes problemas de valor inicial para derivar fórmulas explícitas para o cosseno e o seno hiperbólicos.
b) Prove que uma solução geral da equação
c) Suponha que
d) Use o resultado da parte c) para resolver o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para usar a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
para definir as funções hiperbólicas
e
por condições iniciais, depois mostrar que a solução geral de
pode ser escrita como combinação dessas funções, em seguida estender esse raciocínio ao caso geral
cuja equação característica tem raízes reais
, e por fim aplicar isso para resolver o IVP
Passo 2
Para obter fórmulas explícitas de
e
resolvemos
então a solução geral é
Para
imponho
e
:
Logo
Para
imponho
e
:
Logo
Passo 3
Como toda solução de
é
, podemos escrever
com
e
. Portanto
é a solução geral de
.
Passo 4
Para a EDO geral
a equação característica é
supondo raízes reais distintas
e
. A solução geral é
Como já vimos,
logo a forma final é
Passo 5
Agora resolvemos
pela parte (c). A equação característica é
Então
e
, e a solução geral é
Impondo
e
obtemos
e diferenciando por
e avaliando em
Logo a solução do IVP é
que equivale a
Resposta
a)
b)
c) .
d) .
b)
c)
d)