2- Uma massa de 3 kg é presa a uma mola com rigidez k=48 N / m. A massa é deslocada 1 / 2 m para a esquerda do ponto de equilíbrio e recebe uma velocidade de 2 m / s para a direita. A força de amortecimento é insignificante. Ache a equação do movimento da massa junto com amplitude, periodo frequência. Quanto tempo depois de solta a massa passa pela posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples sem amortecimento de uma massa m=3 kg presa a uma mola com constante elástica k=48 N/m. A massa é deslocada até x(0)=-tfrac12 m e recebe velocidade inicial v(0)=2 m/s. Precisamos achar a equação do movimento x(t), a amplitude A, o período T, a frequência f e o tempo em que passa pela posição de equilíbrio.

Passo 2

Em MHS sem amortecimento a equação é
m,x'' + k,x = 0
A frequência angular vale
omega = raizkm = raiz483 = 4;rad/s,
e a solução geral é
x(t) = Ccos(omega t) + Dsin(omega t)

Passo 3

Usamos as condições iniciais:
x(0)=C=-tfrac12,
x'(t) = -C,omegasin(omega t) + D,omegacos(omega t) Longrightarrow x'(0)=D,omega=2
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C=-tfrac12, D=2omega=24=tfrac12

Passo 4

Substituindo em x(t) obtemos
x(t) = -tfrac12cos(4t)+tfrac12sin(4t)
A amplitude é
A = raizC^2+D^2 = raiztfrac14+tfrac14 = 1raiz2
Opcionalmente, escrevendo com fase phi:
x(t)=Acosl(4t-phir), phi=tfrac3pi4

Passo 5

O período é
T = 2piomega = 2pi4 = pi2;s,
e a frequência é
f = 1T = 2pi;Hz

Passo 6

Para encontrar o primeiro instante em que x(t)=0, resolvemos
-tfrac12cos(4t)+tfrac12sin(4t)=0 Longrightarrow tan(4t)=1
A menor solução positiva é
4t = pi4 Longrightarrow t = pi16;s

Resposta

A equação do movimento é
x(t) = -tfrac12cos(4t) + tfrac12sin(4t) l(ou x(t)=tfrac1raiz2cos(4t-tfrac3pi4)r)
A amplitude vale A = 1/raiz2 m, o período é T = pi/2 s, a frequência é f = 2/pi Hz, e o tempo até a primeira passagem pela posição de equilíbrio é t = pi/16 s.

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