Explique, utilizando a definição de derivada, porquê uma função que tem derivada num ponto necessariamente deve ser continua neste ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre por que uma função que tem derivada em um ponto também precisa ser contínua nesse ponto. A gente vai usar a definição de derivada para mostrar isso. Precisamos entender o que é derivada e continuidade para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é o limite:
Isso basicamente mede a inclinação da função no ponto $ a $.
Passo 3
Agora, para a função ser derivável em $ a $, esse limite tem que existir. Vamos reescrever a definição da derivada:
Isso significa que quanto mais $ x $ se aproxima de $ a $, a expressão $ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $ se aproxima de $ f’(a) $.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por $ x - a $, temos:
Como $ f’(a) $ é uma constante, o lado direito fica:
Então,
Passo 5
Isso significa que:
Ou seja,
Passo 6
Essa igualdade é exatamente a definição de continuidade no ponto $ a $. Portanto, se a função é derivável em $ a $, ela é contínua em $ a $.
Resposta
Uma função que tem derivada em um ponto é necessariamente contínua nesse ponto, pois a existência da derivada garante que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.