Explique, utilizando a definição de derivada, porquê uma função que tem derivada num ponto necessariamente deve ser continua neste ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre por que uma função que tem derivada em um ponto também precisa ser contínua nesse ponto. A gente vai usar a definição de derivada para mostrar isso. Precisamos entender o que é derivada e continuidade para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é o limite:
f
Isso basicamente mede a inclinação da função no ponto $ a $.

Passo 3

Agora, para a função ser derivável em $ a $, esse limite tem que existir. Vamos reescrever a definição da derivada:
a
Isso significa que quanto mais $ x $ se aproxima de $ a $, a expressão $ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $ se aproxima de $ f’(a) $.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por $ x - a $, temos:
x - a
Como $ f’(a) $ é uma constante, o lado direito fica:
limx to a (f(x) - f(a)) = limx to a f'(a) cdot (x - a)
Então,
f'(a)

Passo 5

Isso significa que:
limx to a f(x) - f(a) = 0
Ou seja,
limx to a f(x) = f(a)

Passo 6

Essa igualdade é exatamente a definição de continuidade no ponto $ a $. Portanto, se a função é derivável em $ a $, ela é contínua em $ a $.

Resposta

Uma função que tem derivada em um ponto é necessariamente contínua nesse ponto, pois a existência da derivada garante que o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.

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