Calcule a integral
integral 3 w^3+13 w+4w^3+4 w d w

Passo 1

Beleza, o exercício manda a gente calcular
integral 3w^3+13w+4w^3+4w,dw
Isso é uma fração racional, então o conteúdo aqui é divisão de polinômios e decomposição em frações parciais. Vamos precisar:
1) Fazer a divisão de polinômios (quando o grau do numerador é ≥ grau do denominador).
2) Decompor o resto em frações parciais.
3) Integrar cada pecinha com as fórmulas de ln e arctan.

Passo 2

Primeiro, dividimos 3w^3+13w+4 por w^3+4w,
- O quociente é 3, porque 3cdot(w^3+4w)=3w^3+12w.
- Subtraindo, o resto fica (3w^3+13w+4) - (3w^3+12w) = w+4
Logo
3w^3+13w+4w^3+4w = 3 + w+4w^3+4w = 3 + w+4w,(w^2+4)

Passo 3

Agora fazemos frações parciais em
w+4w,(w^2+4) = Aw + Bw+Cw^2+4
Multiplicando tudo por w(w^2+4):
w+4 = A(w^2+4) + (Bw+C),w = (A+B)w^2 + Cw + 4A
Comparando coeficientes com 0w^2 +1w +4 dá o sistema:
A + B = 0, C = 1, 4A = 4
Logo A=1, B=-1, C=1. Então
w+4w,(w^2+4) = 1w + -w+1w^2+4

Passo 4

Reescrevendo a integral:
$$\int \frac{3w3+13w+4}{w3+4w},dw
= \int \Bigl(3 + \frac{1}{w} + \frac{-w+1}{w^2+4}\Bigr)dw. integral 3w^3+13w+4w^3+4w,dw = integral l(3 + 1w + -w+1w^2+4r)dwã\int \frac{-w}{w^2+4}dw = -\tfrac12\ln(w^2+4).$$
  1. integral3,dw = 3w

Resposta

Juntando tudo e colocando + C,
boxed3w + ln|w| ;-;tfrac12ln(w^2+4);+;tfrac12arctan!l(tfrac w2r);+;C

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