Calcule a integral.
integral0^5 / 2 cos ^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 até 5/2 de \cos^2θ\, ou seja, \int_{0}^{5/2} \cos^2θ\ dθ. O conteúdo aqui é a integração de uma função trigonométrica e vamos precisar usar a identidade de ângulo duplo (fórmula de semiengulo) para \cos^2θ\.

Passo 2

A identidade de semiengulo diz que
cos^2θ = 1 + cos(2θ)2
Substituímos essa expressão na integral para simplificá-la.

Passo 3

Reescrevendo a integral com a identidade e separando em duas partes, temos:
integral0^5/2 cos^2θ dθ = integral0^5/2 1 + cos(2θ)2 dθ = 12 integral0^5/2 dθ + 12 integral0^5/2 cos(2θ) dθ
Integrando cada termo, obtemos o antiderivado:
θ2 + sin(2θ)4

Passo 4

Agora avaliaremos esse antiderivado entre os limites 0 e 5/2:
(θ2 + sin(2θ)4)g|0^5/2 = (5/22 + sin(5)4) - (0 + 0) = 54 + sin(5)4 = 5 + sin(5)4

Resposta

\displaystyle \frac{5 + \sin(5)}{4}

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