Explique o que você deve fazer com o comprimento do fio de um pêndulo simples para:
dobrar sua frequência angular.

Passo 1

O que o problema pede: explicar o que deve ser feito com o comprimento do fio de um pêndulo simples para dobrar sua frequência angular.
Informações relevantes (o que temos/assumimos do enunciado):
  • Trata-se de um pêndulo simples com massa pontual presa a um fio de comprimento L.
  • A aceleração da gravidade é g (assumir valor genérico g; se precisar de número use g\approx9{,}8\\ \text{m/s}^2).
  • Queremos dobrar a frequência angular do pêndulo: a nova frequência angular será 2 vezes a frequência angular atual.
  • Assumir pequenas oscilações (ângulos pequenos), de modo que a aproximação \sin\theta\approx\theta (em radianos) seja válida.
  • Não há pedido de mudanças em g ou na massa; só se mexerá em L.

Passo 2

Entender a equação de movimento para pequenas oscilações (a parte teórica que precisa dominar).
  • Quando o pêndulo é deslocado de uma posição de equilíbrio por um ângulo \theta, a componente tangencial do peso é -mg\sin\theta. O sinal negativo indica que a força tende a restaurar \theta para zero.
  • Para pequenos ângulos usamos a aproximação \sin\theta\approx\theta (isso vale bem para |\theta| em radianos geralmente menores que uns 0{,}2 a 0{,}3 rad, ou cerca de 10^\circ- 17^\circ).
  • O momento de inércia da massa pontual em relação ao ponto de suspensão é I=mL^2. O torque resultante em torno do ponto de suspensão é \tau = -mgL\sin\theta.
  • A segunda lei de Newton para rotações diz \tau = I\,\ddot\theta, onde \ddot\theta é a aceleração angular.

Passo 3

Montar a equação diferencial e reconhecer o oscilador harmônico.
  • Escrevendo as expressões anteriores:
-mgL\sin\theta = mL^2\ddot\theta.
  • Aplicando a aproximação \sin\theta\approx\theta:
-mgL\theta = mL^2\ddot\theta.
  • Cancelando mL (assumindo m\neq0 e L\neq0):
\ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0.
  • Esta é a equação do oscilador harmônico simples. A solução é harmônica com frequência angular natural \omega dada por:
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
Explanação das letras:
  • \theta(t) é o ângulo de deslocamento em função do tempo (em radianos).
  • \ddot\theta é a segunda derivada temporal de \theta.
  • g é a aceleração da gravidade.
  • L é o comprimento do fio.
  • \omega é a frequência angular (em rad/s), que controla a rapidez das oscilações.

Passo 4

Expressar o requisito “dobrar a frequência angular” em equação matemática.
  • Seja \omega a frequência angular inicial e \omega' a nova frequência angular desejada. Queremos:
\omega' = 2\omega.
  • Usando a fórmula \omega=\sqrt{g/L} e a nova \omega'=\sqrt{g/L'} (onde L' é o novo comprimento que procuramos), temos:
\sqrt{\frac{g}{L'}} = 2\sqrt{\frac{g}{L}}.

Passo 5

Resolver a equação para L' passo a passo (álgebra clara).
  • Elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar as raízes:
\frac{g}{L'} = 4\frac{g}{L}.
  • Cancelar g (assumindo g\neq0):
\frac{1}{L'} = \frac{4}{L}.
  • Inverter ambos os lados para encontrar L':
L' = \frac{L}{4}.

Passo 6

Interpretação física e consequência sobre o período.
  • Resultado: para dobrar a frequência angular, o comprimento do fio deve ser reduzido para um quarto do comprimento original.
  • Em termos do período T (tempo de uma oscilação), lembrando T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}, se \omega dobra então o período cai pela metade:
T'=\frac{T}{2}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia.
  • Se L=1{,}00\\ \text{m}, então \omega=\sqrt{g/L}\approx\sqrt{9{,}8/1}=3{,}13\\ \text{rad/s}.
  • Para dobrar \omega para 6{,}26\\ \text{rad/s}, usar L'=\dfrac{1{,}00}{4}=0{,}25\\ \text{m}. Verificação: \sqrt{9{,}8/0{,}25}\approx6{,}26\\ \text{rad/s}.

Passo 8

Avisos práticos (o que pode invalidar a relação simples).
  • A derivação usa a aproximação de pequenas oscilações \sin\theta\approx\theta. Para amplitudes grandes a fórmula \omega=\sqrt{g/L} deixa de ser exata.
  • Atrito no pivô, resistência do ar, massa do fio não negligenciável, ou mudanças locais em g podem alterar numericamente os valores práticos.
  • Mas, dentro das condições ideais (massa pontual, fio leve, pequenas oscilações), o resultado L'=\dfrac{L}{4} é correto e fácil de aplicar.

Resposta

Reduzir o comprimento para um quarto do original: L'=\dfrac{L}{4}.

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