Explique o que você deve fazer com o comprimento do fio de um pêndulo simples para:
dobrar sua frequência angular.
dobrar sua frequência angular.
Passo 1
O que o problema pede: explicar o que deve ser feito com o comprimento do fio de um pêndulo simples para dobrar sua frequência angular.
Informações relevantes (o que temos/assumimos do enunciado):
- Trata-se de um pêndulo simples com massa pontual presa a um fio de comprimento
. - A aceleração da gravidade é
(assumir valor genérico ; se precisar de número use ). - Queremos dobrar a frequência angular do pêndulo: a nova frequência angular será
vezes a frequência angular atual. - Assumir pequenas oscilações (ângulos pequenos), de modo que a aproximação
(em radianos) seja válida. - Não há pedido de mudanças em
ou na massa; só se mexerá em .
Passo 2
Entender a equação de movimento para pequenas oscilações (a parte teórica que precisa dominar).
- Quando o pêndulo é deslocado de uma posição de equilíbrio por um ângulo
, a componente tangencial do peso é . O sinal negativo indica que a força tende a restaurar para zero. - Para pequenos ângulos usamos a aproximação
(isso vale bem para em radianos geralmente menores que uns a rad, ou cerca de - ). - O momento de inércia da massa pontual em relação ao ponto de suspensão é
. O torque resultante em torno do ponto de suspensão é . - A segunda lei de Newton para rotações diz
, onde é a aceleração angular.
Passo 3
Montar a equação diferencial e reconhecer o oscilador harmônico.
- Escrevendo as expressões anteriores:
- Aplicando a aproximação
:
- Cancelando
(assumindo e ):
- Esta é a equação do oscilador harmônico simples. A solução é harmônica com frequência angular natural
dada por:
Explanação das letras:
-
é o ângulo de deslocamento em função do tempo (em radianos). -
é a segunda derivada temporal de . -
é a aceleração da gravidade. -
é o comprimento do fio. -
é a frequência angular (em rad/s), que controla a rapidez das oscilações.
Passo 4
Expressar o requisito “dobrar a frequência angular” em equação matemática.
- Seja
a frequência angular inicial e a nova frequência angular desejada. Queremos:
- Usando a fórmula
e a nova (onde é o novo comprimento que procuramos), temos:
Passo 5
Resolver a equação para
passo a passo (álgebra clara).
- Elevar ao quadrado ambos os lados para eliminar as raízes:
- Cancelar
(assumindo ):
- Inverter ambos os lados para encontrar
:
Passo 6
Interpretação física e consequência sobre o período.
- Resultado: para dobrar a frequência angular, o comprimento do fio deve ser reduzido para um quarto do comprimento original.
- Em termos do período
(tempo de uma oscilação), lembrando , se dobra então o período cai pela metade:
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia.
- Se
, então . - Para dobrar
para , usar . Verificação: .
Passo 8
Avisos práticos (o que pode invalidar a relação simples).
- A derivação usa a aproximação de pequenas oscilações
. Para amplitudes grandes a fórmula deixa de ser exata. - Atrito no pivô, resistência do ar, massa do fio não negligenciável, ou mudanças locais em
podem alterar numericamente os valores práticos. - Mas, dentro das condições ideais (massa pontual, fio leve, pequenas oscilações), o resultado
é correto e fácil de aplicar.
Resposta
Reduzir o comprimento para um quarto do original:
.