Do alto de um edifício de 45 metros, deixa-se cair livremente uma pedra A. Exatamente 1 segundo depois, uma segunda pedra B é arremessada verticalmente para baixo a partir do mesmo ponto com uma velocidade inicial v_{0}. Ambas as pedras atingem o chão exatamente no mesmo instante. Qual foi o valor da velocidade inicial v_{0} da pedra B ? (Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \mathrm{e} despreze a resistência do ar).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo claramente):
  • Altura do edifício: 45\\ \mathrm{m}.
  • Pedra A: abandona-se do topo em queda livre no instante t=0 com velocidade inicial nula.
  • Pedra B: é lançada verticalmente para baixo do mesmo ponto exatamente 1\\ \mathrm{s} depois, com velocidade inicial v_{0} (desconhecida).
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Ambas atingem o chão ao mesmo instante.
    O que se pede: determinar o valor de v_{0} (valor e direção).

Passo 2

Escolher convenção de sinais e a equação que vamos usar (a mais básica do movimento uniformemente acelerado).
  • Vou tomar a direção para baixo como positiva (assim deslocamentos para baixo são positivos e g>0).
  • Coloco a origem s=0 no ponto de lançamento (topo do edifício). Então a pedra chega ao chão quando o deslocamento é s=45.
  • A fórmula do movimento uniformemente acelerado (MRUV) que usamos é:
s = s_{0} + v_{0,\text{inicial}}\,t + \tfrac{1}{2} a t^{2},
onde:
  • s é a posição final (aqui 45\\ \mathrm{m}),
  • s_{0} é a posição inicial (aqui 0),
  • v_{0,\text{inicial}} é a velocidade inicial da pedra considerada (para A é 0, para B é o v_{0} que queremos),
  • a é a aceleração (aqui g=10\\ \mathrm{m/s^2}),
  • t é o tempo de queda da pedra considerada.

Passo 3

Calcular o tempo de queda da pedra A (a que foi largada em t=0).
Aplicando a equação com v_{0,\text{A}}=0, s=45, a=g:
45 = 0\cdot t_{A} + \tfrac{1}{2} g t_{A}^{2}.
Isolando t_{A}:
\tfrac{1}{2} g t_{A}^{2} = 45 \quad\Rightarrow\quad t_{A}^{2} = \frac{2\cdot 45}{g} = \frac{90}{10} = 9,
t_{A} = \sqrt{9} = 3\\ \mathrm{s}.
Portanto a pedra A leva 3\\ \mathrm{s} para chegar ao chão.

Passo 4

Determinar o tempo de voo da pedra B.
  • A pedra B é lançada 1\\ \mathrm{s} depois, então o tempo disponível para B até o impacto é
t_{B} = t_{A} - 1 = 3 - 1 = 2\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Aplicar a equação do MRUV para B e resolver para v_{0}.
Para B temos s=45, tempo t_{B}=2, aceleração g e velocidade inicial v_{0} (para baixo, positiva):
45 = v_{0}\,t_{B} + \tfrac{1}{2} g t_{B}^{2}.
Isolando v_{0}:
v_{0} = \frac{45 - \tfrac{1}{2} g t_{B}^{2}}{t_{B}}.
Substituindo g=10 e t_{B}=2:
\tfrac{1}{2} g t_{B}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 2^{2} = 5\cdot 4 = 20,
v_{0} = \frac{45 - 20}{2} = \frac{25}{2} = 12,5\\ \mathrm{m/s}.
Como a convenção tomou para baixo como positiva, v_{0}=12,5\\ \mathrm{m/s} indica que a pedra B foi lançada para baixo com velocidade de 12,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cheque rápido (sanity check): deslocamento de B em 2\\ \mathrm{s} vale
v_{0}t_{B} + \tfrac{1}{2} g t_{B}^{2} = 12,5\cdot 2 + 20 = 25 + 20 = 45,
coincide com a altura; portanto o resultado está consistente.

Resposta

v_{0}=12,5\\ \mathrm{m/s} (para baixo)

Exercícios relacionados