Um explorador de cavernas anda ao longo de uma passagem de 100 m em direção ao leste, em seguida 50 m em uma direção a 37^circ a oeste do norte e, enfim, 150 m a 53^circ a oeste do sul. Após um quarto deslocamento não medido, ele se encontra no lugar onde iniciou o percurso. Determine o quarto vetor deslocamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. Temos um explorador que faz quatro deslocamentos diferentes e, no final, ele volta pro ponto de partida. A gente precisa descobrir qual foi o quarto deslocamento. Para resolver isso, vamos usar o conceito de vetores e componentes vetoriais. Basicamente, vamos separar cada movimento nas direções leste-oeste (eixo x) e norte-sul (eixo y) usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada um dos três primeiros deslocamentos como vetores com componentes nas direções x e y.
  1. Primeiro deslocamento: 100 m para o leste.
    • Componente x: 100 m (positivo, porque é para leste)
    • Componente y: 0 m
  2. Segundo deslocamento: 50 m a 37^circ a oeste do norte.
    • Isso significa que o explorador está indo para o norte, mas desviando 37° para o oeste.
    • Componente x: -50 cdot sin(37°) (negativo porque é para oeste)
    • Componente y: 50 cdot cos(37°) (positivo porque é para norte)
  3. Terceiro deslocamento: 150 m a 53^circ a oeste do sul.
    • Aqui, ele está indo para o sul, desviando 53° para o oeste.
    • Componente x: -150 cdot sin(53°) (negativo porque é para oeste)
    • Componente y: -150 cdot cos(53°) (negativo porque é para sul)

Passo 3

Vamos calcular as componentes numéricas usando as funções trigonométricas. Lembrando que sin(37°) approx 0,6018, cos(37°) approx 0,7986, sin(53°) approx 0,7986 e cos(53°) approx 0,6018.
  1. Primeiro deslocamento:
    • x: 100 m
    • y: 0 m
  2. Segundo deslocamento:
    • x: -50 cdot 0,6018 approx -30,09 m
    • y: 50 cdot 0,7986 approx 39,93 m
  3. Terceiro deslocamento:
    • x: -150 cdot 0,7986 approx -119,79 m
    • y: -150 cdot 0,6018 approx -90,27 m

Passo 4

Agora, vamos somar todas as componentes x e todas as componentes y dos três primeiros deslocamentos:
  • Soma das componentes x:
    100 + (-30,09) + (-119,79) = 100 - 30,09 - 119,79 = -49,88 m
  • Soma das componentes y:
    0 + 39,93 + (-90,27) = 0 + 39,93 - 90,27 = -50,34 m

Passo 5

Já que o explorador voltou ao ponto inicial depois do quarto deslocamento, a soma total de todos os quatro deslocamentos deve ser zero. Portanto, o quarto deslocamento deve ser o inverso das somas das componentes x e y que já temos.
  • Componente x do quarto deslocamento:
    49,88 m
    (positivo, para cancelar o -49,88 m)
  • Componente y do quarto deslocamento:
    50,34 m
    (positivo, para cancelar o -50,34 m)

Passo 6

Vamos calcular a magnitude e a direção desse quarto deslocamento usando o teorema de Pitágoras e funções trigonométricas.
  • Magnitude:
    raiz49,88^2 + 50,34^2 approx raiz2488,01 + 2534,34 approx raiz5022,35 approx 70,87 m
  • Direção:
    theta = arctan(50,3449,88) approx arctan(1,008) approx 45° a nordeste

Resposta

O quarto deslocamento é de aproximadamente 70,9 metros a 45° a nordeste.

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