Uma exploradora está pesquisando uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta para oeste, depois caminha 210 m em uma direção formando 45^circ com a direção anterior e em sentido sul para leste; a seguir, percorre 280 m a 30^circ no sentido do norte para o leste. Depois de um quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida. Use o método dos componentes para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento.

Passo 1

Vamos resolver um problema de vetores onde uma exploradora percorre diferentes trajetórias dentro de uma caverna e precisa retornar ao ponto de partida. Vamos usar o método dos componentes, que envolve decompor cada deslocamento nas direções X (leste-oeste) e Y (norte-sul). Para isso, vamos precisar entender como separar vetores em suas componentes usando funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Vamos considerar a direção leste como positiva no eixo X e a direção norte como positiva no eixo Y.

Passo 3

Agora, vamos decompor cada um dos três deslocamentos nas componentes X e Y.
  1. Primeiro deslocamento: 180 m para oeste
    • X: -180 m (oeste é negativo)
    • Y: 0 m
  2. Segundo deslocamento: 210 m a 45° no sentido sul para leste
    • O ângulo de 45° está em relação à direção oeste, então para decompor:
    • X: 210 m * cos(45°) ≈ 210 m * 0,7071 ≈ 148,5 m (leste é positivo)
    • Y: -210 m * sin(45°) ≈ -210 m * 0,7071 ≈ -148,5 m (sul é negativo)
  3. Terceiro deslocamento: 280 m a 30° no sentido norte para leste
    • O ângulo de 30° está em relação à direção norte:
    • X: 280 m * cos(30°) ≈ 280 m * 0,8660 ≈ 242,1 m (leste é positivo)
    • Y: 280 m * sin(30°) ≈ 280 m * 0,5 ≈ 140 m (norte é positivo)

Passo 4

Vamos somar as componentes X e Y dos três deslocamentos:
  • Soma das componentes X:
    • (-180) + 148,5 + 242,1 ≈ 210,6 m
  • Soma das componentes Y:
    • 0 + (-148,5) + 140 ≈ -8,5 m

Passo 5

Para retornar ao ponto de partida, a quarta deslocação deve cancelar essa soma. Isso significa que suas componentes X e Y devem ser o inverso das somas anteriores:
  • Componente X do quarto deslocamento:
    • -210,6 m
  • Componente Y do quarto deslocamento:
    • 8,5 m

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo (magnitude) e a direção da quarta deslocação usando o teorema de Pitágoras e a função tangente para o ângulo.
  • Módulo:
    raiz(-210,6)^2 + (8,5)^2 approx raiz44352,36 + 72,25 approx raiz44424,61 approx 210,75 m
  • Direção:
    theta = arctan(8,5-210,6) approx arctan(-0,0404) approx -2,31^circ
    Como o componente X é negativo e o Y é positivo, o ângulo está no segundo quadrante. Portanto, a direção é:
    180^circ - 2,31^circ = 177,69^circ
    Isso significa que a direção está aproximadamente a 2,31° ao norte do oeste.

Resposta

A quarta deslocação tem um módulo de aproximadamente 210,75 metros, direção de 177,69°, ou seja, 2,31° ao norte do oeste, e sentido norte-oeste.

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