Uma exploradora está pesquisando uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta para oeste, depois caminha 210 m em uma direção formando
com a direção anterior e em sentido sul para leste; a seguir, percorre 280 m a
no sentido do norte para o leste. Depois de um quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida. Use o método dos componentes para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento.
Passo 1
Vamos resolver um problema de vetores onde uma exploradora percorre diferentes trajetórias dentro de uma caverna e precisa retornar ao ponto de partida. Vamos usar o método dos componentes, que envolve decompor cada deslocamento nas direções X (leste-oeste) e Y (norte-sul). Para isso, vamos precisar entender como separar vetores em suas componentes usando funções trigonométricas como seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Vamos considerar a direção leste como positiva no eixo X e a direção norte como positiva no eixo Y.
Passo 3
Agora, vamos decompor cada um dos três deslocamentos nas componentes X e Y.
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Primeiro deslocamento: 180 m para oeste
- X: -180 m (oeste é negativo)
- Y: 0 m
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Segundo deslocamento: 210 m a 45° no sentido sul para leste
- O ângulo de 45° está em relação à direção oeste, então para decompor:
- X: 210 m * cos(45°) ≈ 210 m * 0,7071 ≈ 148,5 m (leste é positivo)
- Y: -210 m * sin(45°) ≈ -210 m * 0,7071 ≈ -148,5 m (sul é negativo)
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Terceiro deslocamento: 280 m a 30° no sentido norte para leste
- O ângulo de 30° está em relação à direção norte:
- X: 280 m * cos(30°) ≈ 280 m * 0,8660 ≈ 242,1 m (leste é positivo)
- Y: 280 m * sin(30°) ≈ 280 m * 0,5 ≈ 140 m (norte é positivo)
Passo 4
Vamos somar as componentes X e Y dos três deslocamentos:
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Soma das componentes X:
- (-180) + 148,5 + 242,1 ≈ 210,6 m
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Soma das componentes Y:
- 0 + (-148,5) + 140 ≈ -8,5 m
Passo 5
Para retornar ao ponto de partida, a quarta deslocação deve cancelar essa soma. Isso significa que suas componentes X e Y devem ser o inverso das somas anteriores:
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Componente X do quarto deslocamento:
- -210,6 m
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Componente Y do quarto deslocamento:
- 8,5 m
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo (magnitude) e a direção da quarta deslocação usando o teorema de Pitágoras e a função tangente para o ângulo.
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Módulo:
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Direção:Como o componente X é negativo e o Y é positivo, o ângulo está no segundo quadrante. Portanto, a direção é:Isso significa que a direção está aproximadamente a 2,31° ao norte do oeste.
Resposta
A quarta deslocação tem um módulo de aproximadamente 210,75 metros, direção de 177,69°, ou seja, 2,31° ao norte do oeste, e sentido norte-oeste.