Uma pedra é lançada verticalmente para cima do solo com uma velocidade inicial de
. No mesmo instante, uma bola é largada de um penhasco de
de altura. Determine depois de quanto tempo a pedra e a bola estarão à mesma altura acima do solo. Desconsidere a resistência do ar e assuma que a pedra não atinge o topo do penhasco. Suponha que a aceleração de gravidade seja
. Desenhe um diagrama que mostre as posições da pedra e da bola no instante em que elas estão à mesma altura. Calcule a distância percorrida pela pedra desde seu ponto de lançamento até o momento em que está na mesma altura da bola. Determine as velocidades da pedra e da bola no instante em que estão à mesma altura acima do solo.
Passo 1
Beleza, aqui o lance é um clássico de cinemática com aceleração constante (gravidade). A gente tem:
- Pedra lançada do solo pra cima com
. - Bola largada (sem velocidade inicial) lá do topo de um penhasco de
. - Gravidade
, desprezando resistência do ar e colisões.
O que você vai ver: as equações de posição e velocidade em função do tempo, achar quando as alturas são iguais, fazer um esquema (diagrama), calcular quanto a pedra já “andou” até esse instante e quais são as velocidades dos dois ali.
Passo 2
Escrevendo as equações de movimento (eixo
pra cima positivo, zero no solo):
- Para a pedra (inicia em
, ): - Para a bola (inicia em
, ):
Passo 3
Igualando as alturas
:
Então, no instante
, os dois estão na mesma altura (matematicamente continua o movimento mesmo que dê negativo).
Passo 4
Esqueminha das posições (eixo vertical, valores em metros):
200 m │ Bola (início)
… │
0 m │ Solo
… │
-300 m │ Pedra e bola no encontro (t=10 s)
… │
0 m │ Solo
… │
-300 m │ Pedra e bola no encontro (t=10 s)
A pedra saiu do solo, subiu, voltou, passou pelo solo e continuou descendo; a bola caiu do penhasco e seguiu descendo. No encontro ambos estão 300 m abaixo do solo, mas o exercício só pede o diagrama conceitual.
Passo 5
Distância total percorrida pela pedra até
:
- Sobe até o ponto mais alto (apogeu) em
, alcançando . - Desce do apogeu até o ponto de encontro a
. A descida é de (até o solo) mais abaixo dele, total .
Logo, a distância percorrida (caminho) é
Passo 6
Velocidades no instante
:
- Pedra:
(descendo). - Bola:
(descendo).
Resposta
Tempo de igualdade de altura: 10 s.
Diagrama: as duas passam pela mesma altura 300 m abaixo do solo em .
Distância percorrida pela pedra até ali: 340 m.
Velocidades em : pedra
, bola
.
Diagrama: as duas passam pela mesma altura 300 m abaixo do solo em
Distância percorrida pela pedra até ali: 340 m.
Velocidades em