Uma pedra é lançada verticalmente para cima do solo com uma velocidade inicial de 20 m / s. No mesmo instante, uma bola é largada de um penhasco de 200 m de altura. Determine depois de quanto tempo a pedra e a bola estarão à mesma altura acima do solo. Desconsidere a resistência do ar e assuma que a pedra não atinge o topo do penhasco. Suponha que a aceleração de gravidade seja 10 m / s^2. Desenhe um diagrama que mostre as posições da pedra e da bola no instante em que elas estão à mesma altura. Calcule a distância percorrida pela pedra desde seu ponto de lançamento até o momento em que está na mesma altura da bola. Determine as velocidades da pedra e da bola no instante em que estão à mesma altura acima do solo.

Passo 1

Beleza, aqui o lance é um clássico de cinemática com aceleração constante (gravidade). A gente tem:
  • Pedra lançada do solo pra cima com .
  • Bola largada (sem velocidade inicial) lá do topo de um penhasco de .
  • Gravidade , desprezando resistência do ar e colisões.
    O que você vai ver: as equações de posição e velocidade em função do tempo, achar quando as alturas são iguais, fazer um esquema (diagrama), calcular quanto a pedra já “andou” até esse instante e quais são as velocidades dos dois ali.

Passo 2

Escrevendo as equações de movimento (eixo yp(t)=0+20t-tfrac12,(10),t^2=20t-5t^2 pra cima positivo, zero no solo):
  • Para a pedra (inicia em vp(t)=20-10,t, yb(t)=200-5t^2,): vb(t)=-10,t
  • Para a bola (inicia em , ):

Passo 3

Igualando as alturas 20t-5t^2 ;=;200-5t^2 ;Longrightarrow; 20t=200 ;Longrightarrow; t=10rm s :
Então, no instante , os dois estão na mesma altura (matematicamente continua o movimento mesmo que dê negativo).

Passo 4

Esqueminha das posições (eixo vertical, valores em metros):
200 m │ Bola (início)
… │
0 m │ Solo
… │
-300 m │ Pedra e bola no encontro (t=10 s)
A pedra saiu do solo, subiu, voltou, passou pelo solo e continuou descendo; a bola caiu do penhasco e seguiu descendo. No encontro ambos estão 300 m abaixo do solo, mas o exercício só pede o diagrama conceitual.

Passo 5

Distância total percorrida pela pedra até 20rm,m;(subida);+;320rm,m;(descida);=;340rm,m :
  1. Sobe até o ponto mais alto (apogeu) em , alcançando .
  2. Desce do apogeu até o ponto de encontro a . A descida é de (até o solo) mais abaixo dele, total .
    Logo, a distância percorrida (caminho) é

Passo 6

Velocidades no instante :
  • Pedra: (descendo).
  • Bola: (descendo).

Resposta

Tempo de igualdade de altura: 10 s.
Diagrama: as duas passam pela mesma altura 300 m abaixo do solo em .
Distância percorrida pela pedra até ali: 340 m.
Velocidades em : pedra , bola .

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