Uma empresa deseja produzir dois produtos, A e B. O lucro é dado por:
A empresa tem uma restrição de tempo: cada unidade de A consome 2 horas e cada unidade de B consome 1 hora. Há no total 100 horas disponíveis.
a) Modele o problema como uma otimização com restrição.
b) Use o método de Lagrange para resolver.
c) Interprete economicamente o valor de
.
a) Modele o problema como uma otimização com restrição.
b) Use o método de Lagrange para resolver.
c) Interprete economicamente o valor de
Passo 1
O enunciado diz que a empresa produz dois produtos,
e
, com lucro total
onde
e
são as quantidades de
e
. Cada unidade de
usa 2 horas e cada unidade de
usa 1 hora, dispondo-se de 100 horas no total. O conteúdo é otimização com restrição linear e usaremos método de Lagrange (e depois argumentos de fronteira) para resolver.
Passo 2
Modelo de otimização:
Maximizar
Maximizar
sujeito a
e às condições de não-negatividade
Passo 3
Tentativa de solução interior via Lagrange (ignorando, por ora,
): define-se a função
As condições de estação são
Das duas primeiras igualdades obtemos
o que é impossível. Logo, não existe solução crítica no interior da reta
.
Passo 4
Como o problema é linear e não há ponto estacionário interno viável, o ótimo ocorre em vértices da região viável. Os vértices são
-
com lucro , -
(usa 100h em ) com lucro , -
(usa 100h em ) com lucro .
O maior lucro éem .
Passo 5
Portanto a solução ótima é
ou seja, produzir somente o produto
.
Passo 6
Por fim, o valor de
(o multiplicador associado à restrição de tempo) corresponde ao preço sombra da hora-máquina. Como usamos só
no ótimo, a lucratividade marginal de uma hora extra é o coeficiente de
por hora, isto é,
Resposta
a)
b)
,
, lucro máximo
.
c) representa o aumento do lucro (30 unidades monetárias) caso se disponha de mais 1 hora de tempo.
c)