Uma empresa deseja produzir dois produtos, A e B. O lucro é dado por:
f(x, y)=40 x+30 y
A empresa tem uma restrição de tempo: cada unidade de A consome 2 horas e cada unidade de B consome 1 hora. Há no total 100 horas disponíveis.
a) Modele o problema como uma otimização com restrição.
b) Use o método de Lagrange para resolver.
c) Interprete economicamente o valor de \lambda.

Passo 1

O enunciado diz que a empresa produz dois produtos, A e B, com lucro total
f(x,y)=40\,x + 30\,y
onde x e y são as quantidades de A e B. Cada unidade de A usa 2 horas e cada unidade de B usa 1 hora, dispondo-se de 100 horas no total. O conteúdo é otimização com restrição linear e usaremos método de Lagrange (e depois argumentos de fronteira) para resolver.

Passo 2

Modelo de otimização:
Maximizar
f(x,y)=40\,x + 30\,y
sujeito a
2x + y \le 100,
e às condições de não-negatividade
x \ge 0,\quad y \ge 0.

Passo 3

Tentativa de solução interior via Lagrange (ignorando, por ora, x,y\ge0): define-se a função
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=40\,x + 30\,y + \lambda\,(100 - 2x - y).
As condições de estação são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=40 - 2\lambda = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=30 - \lambda = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=100 - 2x - y = 0.
Das duas primeiras igualdades obtemos
\lambda = 20 \quad\text{e}\quad \lambda = 30,
o que é impossível. Logo, não existe solução crítica no interior da reta 2x+y=100.

Passo 4

Como o problema é linear e não há ponto estacionário interno viável, o ótimo ocorre em vértices da região viável. Os vértices são
  1. (x,y)=(0,0) com lucro f=0,
  2. (x,y)=(50,0) (usa 100h em A) com lucro f=40\cdot50=2000,
  3. (x,y)=(0,100) (usa 100h em B) com lucro f=30\cdot100=3000.
    O maior lucro é 3000 em (0,100).

Passo 5

Portanto a solução ótima é
x^*=0,\quad y^*=100,
ou seja, produzir somente o produto B.

Passo 6

Por fim, o valor de \lambda (o multiplicador associado à restrição de tempo) corresponde ao preço sombra da hora-máquina. Como usamos só B no ótimo, a lucratividade marginal de uma hora extra é o coeficiente de y por hora, isto é,
\lambda = 30.

Resposta

a)
\max_{x,y\ge0}\;40\,x + 30\,y \quad\text{sujeito a}\quad 2x + y \le 100.
b) x^*=0, y^*=100, lucro máximo 3000.
c) \lambda=30 representa o aumento do lucro (30 unidades monetárias) caso se disponha de mais 1 hora de tempo.

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