Reflexão
Explique com suas palavras: o que muda quando impomos uma restrição a uma função que queremos otimizar?
Explique com suas palavras: o que muda quando impomos uma restrição a uma função que queremos otimizar?
Passo 1
O enunciado pede que a gente reflita sobre o que muda numa tarefa de otimização quando impomos uma restrição à função que queremos otimizar. O conteúdo envolve otimização de funções, tanto sem restrição (busca de pontos críticos por
) quanto com restrição (método de multiplicadores de Lagrange ou condições de fronteira).
Passo 2
Sem restrição, a gente procura pontos críticos de
em todo o domínio disponível, resolvendo a condição
e depois verifica quais desses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela pela matriz Hessiana ou outros critérios.
Passo 3
Quando impomos uma restrição
(ou um conjunto de restrições), o domínio viável se torna apenas o subconjunto que satisfaz
. Isso reduz a região na qual estamos buscando o ótimo, e pode fazer com que o ponto ótimo não seja mais um interior, mas sim um ponto na fronteira desse subconjunto.
Passo 4
Para encontrar o ótimo com restrição, não adianta usar só
. Temos de usar a condição de Lagrange, que exige
mais a própria restrição
. Geometricamente, isso significa que no ponto ótimo o gradiente de
fica “alinhado” com o gradiente da restrição, indicando que a direção de maior crescimento de
não sai do conjunto viável.
Passo 5
Além disso, quando há desigualdades ou múltiplas restrições, entram em cena as condições de Karush–Kuhn–Tucker, que tratam se a restrição está ativa (igualdade) ou não, e introduzem multiplicadores que devem satisfazer certas condições de não negatividade e complementaridade.
Resposta
Ao impor uma restrição, a região de busca do ótimo se reduz ao conjunto viável definido por essa restrição, e a condição de ótimo muda de simplesmente
para envolver a relação entre
e
(ou as condições de KKT). Em outras palavras, o ótimo passa a ocorrer onde o gradiente de
é “forçado” a ficar colinear com o gradiente da restrição, podendo estar no limite do domínio permitido em vez de num interior irrestrito.