Reflexão
Explique com suas palavras: o que muda quando impomos uma restrição a uma função que queremos otimizar?

Passo 1

O enunciado pede que a gente reflita sobre o que muda numa tarefa de otimização quando impomos uma restrição à função que queremos otimizar. O conteúdo envolve otimização de funções, tanto sem restrição (busca de pontos críticos por \nabla f=0) quanto com restrição (método de multiplicadores de Lagrange ou condições de fronteira).

Passo 2

Sem restrição, a gente procura pontos críticos de f(x) em todo o domínio disponível, resolvendo a condição
\nabla f(x)=0
e depois verifica quais desses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela pela matriz Hessiana ou outros critérios.

Passo 3

Quando impomos uma restrição g(x)=0 (ou um conjunto de restrições), o domínio viável se torna apenas o subconjunto que satisfaz g(x)=0. Isso reduz a região na qual estamos buscando o ótimo, e pode fazer com que o ponto ótimo não seja mais um interior, mas sim um ponto na fronteira desse subconjunto.

Passo 4

Para encontrar o ótimo com restrição, não adianta usar só \nabla f=0. Temos de usar a condição de Lagrange, que exige
\nabla f(x)=\lambda\,\nabla g(x)
mais a própria restrição g(x)=0. Geometricamente, isso significa que no ponto ótimo o gradiente de f fica “alinhado” com o gradiente da restrição, indicando que a direção de maior crescimento de f não sai do conjunto viável.

Passo 5

Além disso, quando há desigualdades ou múltiplas restrições, entram em cena as condições de Karush–Kuhn–Tucker, que tratam se a restrição está ativa (igualdade) ou não, e introduzem multiplicadores que devem satisfazer certas condições de não negatividade e complementaridade.

Resposta

Ao impor uma restrição, a região de busca do ótimo se reduz ao conjunto viável definido por essa restrição, e a condição de ótimo muda de simplesmente \nabla f=0 para envolver a relação entre \nabla f e \nabla g (ou as condições de KKT). Em outras palavras, o ótimo passa a ocorrer onde o gradiente de f é “forçado” a ficar colinear com o gradiente da restrição, podendo estar no limite do domínio permitido em vez de num interior irrestrito.

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